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Das Maximum ist gewiss nicht der Hoch- oder Tiefpunkt der ersten Ableitung!
Zur Berechnung eines Extrempunktes gehört immer (!) auch die Überprüfung der Art des Extrempunktes mittels hinreichender Bedingung. Das fehlt hier natürlich.
Zur Berechnung eines Extrempunktes gehört immer (!) auch die Überprüfung der Art des Extrempunktes mittels hinreichender Bedingung. Das fehlt hier natürlich.
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cauchy
Selbstständig, Punkte: 30.62K
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ok. mache ich. dnake dir :)
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labis
13.09.2021 um 21:01
also ich hab mich noch mal damit beschäftigt, klappt noch nicht alles wie gewollt. haben eine Musterlösung zur aufgabe bekommen. dort wurde nicht über die hinrechende Bedingung das erklärt, sondern etwas, für mich nicht sehr verständlich. Ich würde das hier mal hochladen, falls du mir dazu was sagen kannst?
─
labis
22.09.2021 um 18:39
jup. also die logarithmierte Funktion ist klar. bis dahin hab ich es genau so. nur bei dem Formalen bin ich mir seit der Musterlösung nicht mehr sicher, ob ich einfach das Arithmetische MIttel hinschreiben darf. Aber hab ja punkte drauf bekommen, also wird es korrekt sein.
1) Nun bei der Zeile, wo er mit k_1 = ... = k_n = 0 startet. wenn k=0: dann ist doch der Audruck ganz hinten bei der Summe: \( -\sum_{j=1}^{n} ln(0_j!) = -\sum_{j=1}^{n}1 = -n \) oder irre ich mich da?
2) dann kommt direkt die Aussage hinter, "was kein Maximum annimmt". Also wenn meine Funktion -nλ lautet, und Lamda meine Variable ist, habe ich eine fallende lineare Gleichung 1. Grades, offensichtlich kein Maximum. mehr ist damit wohl nicht gemeint?
3) die eigentliche Frage: was er nun für k größer 0 macht. da steht, die Funktion, wenn λ gegen 0 und λ gegen unendlich geht. also ich sehe hier jetzt nicht wieso auf einmal begründet werden kann, wieso da nun ein Maximum existiert.
Ich suche nach einem Algorithmus nenn ich es mal, um jeden MLS zu bestimmen. wenn ich MLS in der Klausur sehe, muss das wie von einem Roboter gemacht werden :D (Leistungsprüfung System in der Uni, richtig pädagogisch wertvoll, für n angehenden Lehrer, ... nicht) Und eine Funktion auf Extrema zu bestimmen, ist ja seit Schule klar, wie das geht. Habe es also so versucht, es sollte ja möglich sein. Er untersucht ln(f(x)) auf Maximum und ich bin davon ausgegangen, dass man das mit f'(x) und f''(x) machen könnte. also wenn die Nullstelle der ersten Ableitung das Aritmetische Mittel ist, lautet die zweite Ableitung:
\[ \frac{d^2}{d\lambda^2} ln(L(\lambda))= -\frac{1}{\lambda^2} \cdot n\cdot \overline{X} \]
nun setze ich das Arithmetische MIttel ein und erhalte \[ f''(\overline{X})= -\frac{1}{\overline{X}^2} \cdot n\cdot \overline{X} = \frac{-n}{\overline{X}}\]
4) aber wie sagt mir das nun aus, ob das jetzt positiv oder negativ ist? also offensichtlich ist es schon mal ungleich null und damit existiert ein Maximum. die ZV ist ja auf positivem Raum definiert, damit muss das Arithmetische Mittel positiv sein. also Hochpunkt. ich weiß jetzt nicht, ob es mit meiner Methode nun korrekt ist und wieso er es halt anders gemacht hat. ─ labis 22.09.2021 um 23:10
1) Nun bei der Zeile, wo er mit k_1 = ... = k_n = 0 startet. wenn k=0: dann ist doch der Audruck ganz hinten bei der Summe: \( -\sum_{j=1}^{n} ln(0_j!) = -\sum_{j=1}^{n}1 = -n \) oder irre ich mich da?
2) dann kommt direkt die Aussage hinter, "was kein Maximum annimmt". Also wenn meine Funktion -nλ lautet, und Lamda meine Variable ist, habe ich eine fallende lineare Gleichung 1. Grades, offensichtlich kein Maximum. mehr ist damit wohl nicht gemeint?
3) die eigentliche Frage: was er nun für k größer 0 macht. da steht, die Funktion, wenn λ gegen 0 und λ gegen unendlich geht. also ich sehe hier jetzt nicht wieso auf einmal begründet werden kann, wieso da nun ein Maximum existiert.
Ich suche nach einem Algorithmus nenn ich es mal, um jeden MLS zu bestimmen. wenn ich MLS in der Klausur sehe, muss das wie von einem Roboter gemacht werden :D (Leistungsprüfung System in der Uni, richtig pädagogisch wertvoll, für n angehenden Lehrer, ... nicht) Und eine Funktion auf Extrema zu bestimmen, ist ja seit Schule klar, wie das geht. Habe es also so versucht, es sollte ja möglich sein. Er untersucht ln(f(x)) auf Maximum und ich bin davon ausgegangen, dass man das mit f'(x) und f''(x) machen könnte. also wenn die Nullstelle der ersten Ableitung das Aritmetische Mittel ist, lautet die zweite Ableitung:
\[ \frac{d^2}{d\lambda^2} ln(L(\lambda))= -\frac{1}{\lambda^2} \cdot n\cdot \overline{X} \]
nun setze ich das Arithmetische MIttel ein und erhalte \[ f''(\overline{X})= -\frac{1}{\overline{X}^2} \cdot n\cdot \overline{X} = \frac{-n}{\overline{X}}\]
4) aber wie sagt mir das nun aus, ob das jetzt positiv oder negativ ist? also offensichtlich ist es schon mal ungleich null und damit existiert ein Maximum. die ZV ist ja auf positivem Raum definiert, damit muss das Arithmetische Mittel positiv sein. also Hochpunkt. ich weiß jetzt nicht, ob es mit meiner Methode nun korrekt ist und wieso er es halt anders gemacht hat. ─ labis 22.09.2021 um 23:10
1.) ach ja, danke. das steht jetzt auch auf meinem Lernzettel, merci
3.) aber das ist ja so gesehen auch ein Rezept? In der schule haben wir dies mit Vorzeichenwechsel auch mal gemacht, sehr lange her. Also wir betrachten \( 0 \) und \( \infty \), da dies unser Intervall für die Poisson-Verteilung ist, richtig? Das ist ja das Intervall was uns interessiert. Also nehme ich mir die Log-Likelihood und schaue was passiert. für \( k < 0 \) schaue ich auf \( \lambda = 0 \) und stelle fest, es bleibt nur die Summe stehen und die wird \( -\infty \). wenn ich nun \( \lambda = \infty \) einsetze, wird der erste Ausdruck \( -\infty \) ln fällt wieder weg und Summe fällt auch weg, da der ln nur größer 0 definiert ist. ok verstehe. und da wir mit der ersten Ableitung aber gezeigt, dass ein Maximum existiert, muss dazwischen ja etwas passieren. verstehe.
ich versuche mich gerade noch an der geometrischen Verteilung. mal schauen ob ich was gelernt hab.
danke. ─ labis 23.09.2021 um 00:35
3.) aber das ist ja so gesehen auch ein Rezept? In der schule haben wir dies mit Vorzeichenwechsel auch mal gemacht, sehr lange her. Also wir betrachten \( 0 \) und \( \infty \), da dies unser Intervall für die Poisson-Verteilung ist, richtig? Das ist ja das Intervall was uns interessiert. Also nehme ich mir die Log-Likelihood und schaue was passiert. für \( k < 0 \) schaue ich auf \( \lambda = 0 \) und stelle fest, es bleibt nur die Summe stehen und die wird \( -\infty \). wenn ich nun \( \lambda = \infty \) einsetze, wird der erste Ausdruck \( -\infty \) ln fällt wieder weg und Summe fällt auch weg, da der ln nur größer 0 definiert ist. ok verstehe. und da wir mit der ersten Ableitung aber gezeigt, dass ein Maximum existiert, muss dazwischen ja etwas passieren. verstehe.
ich versuche mich gerade noch an der geometrischen Verteilung. mal schauen ob ich was gelernt hab.
danke. ─ labis 23.09.2021 um 00:35
verstanden. dankö
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labis
23.09.2021 um 12:58
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Cauchy wurde bereits informiert.
was bedeutet aber die aussage "im inneren"? ist damit lokal und global gemeint? ─ labis 13.09.2021 um 20:53