Frage zu Basis von Vektorräumen

Erste Frage Aufrufe: 29     Aktiv: vor 1 Tag, 9 Stunden

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Ich hätt eine Frage zum Video von DJ: Video über VR und Basis 

Am Ende wenn die Basis zum überprüfenden VR aufgestellt wird: 

Warum kann ich nicht sagen, dass meine Basis des VR (den wir berechnen sollen):
{(1,0,0,0), (0,2,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)} mit Dim=4 ist? 
Oder geht das? 
Danke für jede Antwort! 

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Hallo,

mit den Basisvektoren eines Vektorraums kannst du mittels Linearkombination alle Vektoren aus dem Vektorraum erzeugen. Aber du darfst nicht mehr erzeugen können. Das heißt, alle Vektoren aus dem Vektorraum mit der Basis
$$ \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$
haben die Form
$$ \vec v = a \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +c \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +d \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Nun wählen wir beispielsweise $a=c=d=1 $ und $b= \frac 1 2 $. dann erhalten wir den Vektor
$$ \vec v = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1  \\ 1 \end{pmatrix} $$
Dieser erfüllt offensichtlich nicht die Bedingung $x_2 = 2 x_1 $. 
Wir brauchen also einen Basisvektor, der diese Beziehung "verkörpert". Und das ist beispielsweise der Basisvektor $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $. 

Grüße Christian
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Achso! Danke für die übersichtliche Erklärung!   ─   usera3f8ec vor 1 Tag, 10 Stunden

Sehr gerne :)   ─   christian_strack vor 1 Tag, 9 Stunden

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Hey,

nein das geht in dem Fall tatsächlich nicht. Du betrachtest einen Untervektorraum des \( \mathbb{R}^4 \) gemäß der Standardbasis mit den Einheitsvektoren. 

Jetzt hast du ja die besondere Bedingung an den Untervektorraum, dass du nur Vektoren dort betrachtest, deren zweite Komponente doppelt so groß ist, wie die erste. Deshalb stellt Daniel in dem Video den entsprechenden Vektor auch in die Basis des Untervektorraumes. Nun kannst du aber die dritte und vierte Komponente des Untervektorraums beliebig gestalten und deshalb kommen die beiden weiteren Vektoren in die Basis. Der Untervektorraum hat dadurch die Dimension 3. 

Deine Basis von dir funktioniert nicht, weil damit die entsprechende Eigenschaft nicht gewährleistet ist. Du betrachtest ja immer Linearkombinationen deiner Basisvektoren. Du findest aber Koeffizieten, so dass mit deiner Basis die Eigenschaft des Untervektorraumes nicht mehr gegeben ist.

Die von dir genannten Vektoren bilden lediglich eine Basis des \( \mathbb{R}^4 \), da sie linear unabhängig sind und jeden Vektor des entsprechenden Vektorraumes darstellen können.

Ich hoffe das klärt dein Verständnisproblem.

VG
Stefan
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M.Sc., Punkte: 6.6K

 

Alles klar!! Danke für die Ausführliche Erklärung!   ─   usera3f8ec vor 1 Tag, 10 Stunden

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