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Hallo,
mit den Basisvektoren eines Vektorraums kannst du mittels Linearkombination alle Vektoren aus dem Vektorraum erzeugen. Aber du darfst nicht mehr erzeugen können. Das heißt, alle Vektoren aus dem Vektorraum mit der Basis
$$ \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$
haben die Form
$$ \vec v = a \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +c \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +d \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Nun wählen wir beispielsweise $a=c=d=1 $ und $b= \frac 1 2 $. dann erhalten wir den Vektor
$$ \vec v = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Dieser erfüllt offensichtlich nicht die Bedingung $x_2 = 2 x_1 $.
Wir brauchen also einen Basisvektor, der diese Beziehung "verkörpert". Und das ist beispielsweise der Basisvektor $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $.
Grüße Christian
mit den Basisvektoren eines Vektorraums kannst du mittels Linearkombination alle Vektoren aus dem Vektorraum erzeugen. Aber du darfst nicht mehr erzeugen können. Das heißt, alle Vektoren aus dem Vektorraum mit der Basis
$$ \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} $$
haben die Form
$$ \vec v = a \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +c \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +d \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Nun wählen wir beispielsweise $a=c=d=1 $ und $b= \frac 1 2 $. dann erhalten wir den Vektor
$$ \vec v = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Dieser erfüllt offensichtlich nicht die Bedingung $x_2 = 2 x_1 $.
Wir brauchen also einen Basisvektor, der diese Beziehung "verkörpert". Und das ist beispielsweise der Basisvektor $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $.
Grüße Christian
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christian_strack
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 29.81K
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Achso! Danke für die übersichtliche Erklärung!
─
usera3f8ec
26.11.2021 um 20:10
Sehr gerne :)
─
christian_strack
26.11.2021 um 21:14