Frage zu Gruppen

Aufrufe: 638     Aktiv: 02.05.2020 um 16:48
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Hallo,

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe: "Sei (G, ) eine Gruppe mit neutralem Element e und a^2=e für alle a in G. Zeige, dass dies eine abelsche Gruppe ist"

a^2 = e heißt hier doch, dass a a = a sein muss, oder? In dem Fall müsste das doch die triviale Gruppe sein, in der nur a als einziges Element vorkommt?

Ich hab jetzt schon eine Weile rumüberlegt, aber komme auf keine andere Möglichkeit, vielleicht kann mich ja jemand bestätigen oder ggf. in die richtige Richtung stupsen.

Danke schonmal!

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Student, Punkte: 10

 
\( a^2 = e \) bedeutet \( a \circ a = e \)   ─   42 01.05.2020 um 22:00
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Du musst aufpassen, hier wird a verkettet mit sich selbst zu e. Das heißt, dass jedes Element der Gruppe selbstinvers ist. Daher ist deine Aussage hier nicht richtig. ( Wie bspw die 2 in \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) )

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Student, Punkte: 910

 
Also dann hab ich bisher diese Lösung:

1. Abgeschlossenheit: Wie kann ich hier eine Aussage treffen, wenn ich über G keine weiteren Infos habe?
2. Assoziativ: (a∘b)∘c = (a∘c) ∘ (b∘c)
= (a∘c∘c) ∘ (b∘c)
= (a∘e) ∘ (b∘c)
= a ∘ (b∘c)
3. Neutrales Element: a^2=e
4. Inverse Elemente: jedes Element ist mit sich selbst invers durch die Forderung a^2=e
5. kommutativ: siehe letzte Antwort   ─   jens1 02.05.2020 um 14:31
Dass das eine Gruppe ist, brauchst du nicht zu zeigen. Das wird vorausgesetzt. Zu zeigen ist, dass sie kommutativ ist.   ─   digamma 02.05.2020 um 14:36
Oh wow, man kann es sich auch unnötig schwer machen, stimmt natürlich -.- Danke an alle!   ─   jens1 02.05.2020 um 16:48

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Seien \( a, b \in G \), dann gilt

\( a \circ b = (a \circ b) \circ e = (a \circ b) \circ (a \circ a) = (a \circ b) \circ (a \circ e \circ a) = (a \circ b) \circ (a \circ (b \circ b) \circ a)  = ((a \circ b) \circ (a \circ b)) \circ (b \circ a) \\= e \circ (b \circ a) = b \circ a \)

Also ist \(G\) abelsch.

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