Stetigkeit; epsilon-delta kriterium

Aufrufe: 554     Aktiv: 26.01.2021 um 19:24

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 Hallo zusammen,

könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen ?

Ich hab absolut keine Ahnung wie ich das machen, und korrekt aufschreiben soll.

Vielen Dank im Voraus

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Betrachte die Funktion \( g-f \). Dies ist eine stetige Funktionen auf einer kompakten Menge. Was weißt du über solche Funktionen?

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Student, Punkte: 7.05K

 

ich weiß zwar nicht ob es das ist was du meinst, aber die neue Funktion h(x)= g(x)-f(x) ist auch stetig ?   ─   lawena 26.01.2021 um 18:14

Genau. Das ist eine stetige Funktion auf einer kompakten Menge, nämlich \( [0,1] \). Was weißt du denn über stetige Funktionen auf kompakten Mengen? (Ich denke da an Extrema)   ─   42 26.01.2021 um 18:16

hmmm... ich weiß nicht genau
könntest du helfen ?
  ─   lawena 26.01.2021 um 18:30

Eine stetige Funktion nimmt auf einer kompakten Menge immer ein Minimum und ein Maximum an. Hattet ihr das noch nicht?   ─   42 26.01.2021 um 18:40

achso du meintest so allgemein
doch das hatten wir
ich weiß aber nicht wie ich damit die aufgabe lösen soll
  ─   lawena 26.01.2021 um 18:44

Du kannst als \( \delta \) einfach das Minimum nehmen. Überleg dir mal, wieso das geht.   ─   42 26.01.2021 um 18:46

vielleicht weil f(x) < g(x) ist ?   ─   lawena 26.01.2021 um 18:51

Ich schreibe mal auf, wie ich argumentieren würde:
Da \( f \) und \( g \) stetig sind, muss somit auch \( g-f \) stetig sein. Demnach nimmt \( g-f \) auf dem kompakten Intervall \( [0,1] \) ein Minimum an. Wir können also \( \delta := \min_{x \in [0,1]} ( g(x)-f(x) ) \) setzen.
Wegen \( f(x) < g(x) \) bzw. \( g(x)-f(x) > 0 \) für alle \( x \in [0,1] \), ist somit \( \delta > 0 \).
Ferner gilt (per Definition) \( \delta \le g(x)-f(x) \) bzw. \( f(x)+\delta \le g(x) \) für alle \( x \in [0,1] \).
Und damit ist die Behauptung bewiesen.
  ─   42 26.01.2021 um 19:12

ok vielen Dank für deine Hilfe   ─   lawena 26.01.2021 um 19:15

Sehr gerne :) Ich hoffe, dass jetzt alles soweit klar ist. Wenn noch Fragen aufkommen sollten, kannst du gerne noch mal einen Kommentar schreiben.   ─   42 26.01.2021 um 19:24

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