(Twitter)
0
ich weiß zwar nicht ob es das ist was du meinst, aber die neue Funktion h(x)= g(x)-f(x) ist auch stetig ?
─
lawena
26.01.2021 um 18:14
Genau. Das ist eine stetige Funktion auf einer kompakten Menge, nämlich \( [0,1] \). Was weißt du denn über stetige Funktionen auf kompakten Mengen? (Ich denke da an Extrema)
─
42
26.01.2021 um 18:16
hmmm... ich weiß nicht genau
könntest du helfen ? ─ lawena 26.01.2021 um 18:30
könntest du helfen ? ─ lawena 26.01.2021 um 18:30
Eine stetige Funktion nimmt auf einer kompakten Menge immer ein Minimum und ein Maximum an. Hattet ihr das noch nicht?
─
42
26.01.2021 um 18:40
achso du meintest so allgemein
doch das hatten wir
ich weiß aber nicht wie ich damit die aufgabe lösen soll ─ lawena 26.01.2021 um 18:44
doch das hatten wir
ich weiß aber nicht wie ich damit die aufgabe lösen soll ─ lawena 26.01.2021 um 18:44
Du kannst als \( \delta \) einfach das Minimum nehmen. Überleg dir mal, wieso das geht.
─
42
26.01.2021 um 18:46
vielleicht weil f(x) < g(x) ist ?
─
lawena
26.01.2021 um 18:51
Ich schreibe mal auf, wie ich argumentieren würde:
Da \( f \) und \( g \) stetig sind, muss somit auch \( g-f \) stetig sein. Demnach nimmt \( g-f \) auf dem kompakten Intervall \( [0,1] \) ein Minimum an. Wir können also \( \delta := \min_{x \in [0,1]} ( g(x)-f(x) ) \) setzen.
Wegen \( f(x) < g(x) \) bzw. \( g(x)-f(x) > 0 \) für alle \( x \in [0,1] \), ist somit \( \delta > 0 \).
Ferner gilt (per Definition) \( \delta \le g(x)-f(x) \) bzw. \( f(x)+\delta \le g(x) \) für alle \( x \in [0,1] \).
Und damit ist die Behauptung bewiesen. ─ 42 26.01.2021 um 19:12
Da \( f \) und \( g \) stetig sind, muss somit auch \( g-f \) stetig sein. Demnach nimmt \( g-f \) auf dem kompakten Intervall \( [0,1] \) ein Minimum an. Wir können also \( \delta := \min_{x \in [0,1]} ( g(x)-f(x) ) \) setzen.
Wegen \( f(x) < g(x) \) bzw. \( g(x)-f(x) > 0 \) für alle \( x \in [0,1] \), ist somit \( \delta > 0 \).
Ferner gilt (per Definition) \( \delta \le g(x)-f(x) \) bzw. \( f(x)+\delta \le g(x) \) für alle \( x \in [0,1] \).
Und damit ist die Behauptung bewiesen. ─ 42 26.01.2021 um 19:12
ok vielen Dank für deine Hilfe
─
lawena
26.01.2021 um 19:15
Sehr gerne :) Ich hoffe, dass jetzt alles soweit klar ist. Wenn noch Fragen aufkommen sollten, kannst du gerne noch mal einen Kommentar schreiben.
─
42
26.01.2021 um 19:24