Dimension der homogenen polynome

Aufrufe: 97     Aktiv: 20.11.2021 um 21:37

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kann mir bitte jemand bei der Aufgabe helfen?
also ich weiß ja, dass alle exponenten von 0 bis k existieren und die Summe soll ja k sein. Aber wie bestimme ich, wie viele n Tupel aus 0,1,...,k  die Summe k ergeben? 

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Student, Punkte: 111

 
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Bei einem homogenen Polynom haben alle Monome den gleichen Grad. Man überlegt sich hier schnell, dass dann \((x_1^k,\ldots,  x_m^k)\) eine Basis dieses Unterraums ist, dass kannst du schnell nachrechnen? Bei der zweiten Aufgabe denkmal an Polynome einer veränderlichen und was passiert,  wenn eine Veränderliche hinzukommt
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Student, Punkte: 5.51K

 

mein problem liegt eher darin, wie ich das nachrechne... benutze ich dafür Fakultät?   ─   anonymf76f7 20.11.2021 um 12:54

Bist du bei 1 oder 2?   ─   mathejean 20.11.2021 um 13:22

bei 1   ─   anonymf76f7 20.11.2021 um 13:39

Da habe ich dir ja gerade den Tipp gegeben, dass \((x_1^k,\ldots,x_m^k)\) eine Basis ist, wie kommst du da jetzt auf Fakultät?   ─   mathejean 20.11.2021 um 13:44

weiß ich auch nicht... aber dass das die Basis ist wusste ich auch nur wie bestimmen ich die Dimension? Ist die Dimension einfach m?   ─   anonymf76f7 20.11.2021 um 13:48

Genau! Die Dimension ist in einem endlich erzeugtem VR einfach nur die Anzahl der Basisvektoren.   ─   mathejean 20.11.2021 um 13:49

oh ok danke :) ich dachte die Überlegung sei viel zu einfach.
aber bei 2 komme ich nicht ganz weiter. da sind die polynome ja veränderbar also kann ich keine feste Basis bestimmen oder?
  ─   anonymf76f7 20.11.2021 um 14:02

Weißt du welche Dimension \(\mathbb{R}[x_1]_{\leq k}\) hat?   ─   mathejean 20.11.2021 um 14:33

vielleicht 1?   ─   anonymf76f7 20.11.2021 um 14:46

Vorsicht, hier haben wir keine homogenen Polynome mehr! Was ist denn eine \(\mathbb{R}\)-Basis von \(\mathbb{R}[x_1]_{\leq k}\)?   ─   mathejean 20.11.2021 um 15:38

ich bin mir nicht ganz sicher aber vielleicht (x,x^1,x^2,...x^k) aber das kann irgendwie nicht passen   ─   anonymf76f7 20.11.2021 um 16:01

Fast! Es fehlt noch das absolute Glied, also wäre \((1,x_1,x_1^2,\ldots, x_1^k)\) eine Basis. Wie sähe eine von \(\mathbb{R}[x_1,x_2]_{\leq k}\) aus?   ─   mathejean 20.11.2021 um 16:44

ah ja stimmt.
das müsste ja dann (1,x1,x1^2,...,x1^k,x2,x2^2,...,x2^k) sein oder?

und allgemein dann(1,x1,x1^2,...,x1^k,x2,x2^2,...,x2^k,xm,xm^2,...,xm^k)?
  ─   anonymf76f7 20.11.2021 um 18:17

Sehr gut, \(B=(1,x_1,x_1^2,\ldots, x_1^k,x_2,x_2^2,\ldots,x_2^k,\ldots, x_m,x_m^2,\ldots, x_m^k)\) ist eine Basis von \(\mathbb{R}[x_1,\ldots,x_m]_{\leq k}\). Jetzt musst du nur noch die Anzahl der Elemente von \(B\) bestimmen, dass ist dann die Dimension   ─   mathejean 20.11.2021 um 19:01

vielleicht m*k?   ─   anonymf76f7 20.11.2021 um 19:24

Fast, denke an das absolute Glied!   ─   mathejean 20.11.2021 um 20:29

Dann 1+m*k?   ─   anonymf76f7 20.11.2021 um 20:49

Genau!   ─   mathejean 20.11.2021 um 21:25

Dankeschön!!!! :)   ─   anonymf76f7 20.11.2021 um 21:37

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