Umformung zur Berechnung der Eigenwerte einer Matrix

Erste Frage Aufrufe: 242     Aktiv: 28.09.2023 um 19:05

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Zur Vorbereitung auf eine Klausur habe ich versucht, die Eigenwerte der folgenden Matrix zu berechnen:

$\begin{pmatrix} 5 & -5 & 7 \\ -4 & 3 & -5 \\ -7 & 4 & -8 \end{pmatrix}$

Das charakteristische Polynom dieser Matrix sieht laut der Regel von Sarrus - wenn ich mich nicht bereits verrechnet habe - wie folgt aus:

$(5 - \lambda) \cdot (3 - \lambda) \cdot (-8 - \lambda) - 175 - 112 + 48 \cdot (3 - \lambda) + 20 \cdot (5 - \lambda) - 20 \cdot (-8 - \lambda)$

Ich weiß, dass sich dieses Polynom zu $-\lambda^3$ zusammenfassen lässt, allerdings begreife ich nicht, wie man zu diesem Ergebnis kommt. Kann mir jemand helfen?
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Statt der "48" muss es "49" heißen, denn \(7 \cdot 7 = 49 \). Dann kommt's hin!
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