Relation auf Reflexivität usw. prüfen

Aufrufe: 779     Aktiv: 19.10.2021 um 20:36
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Hallo, 

folgende Aufgabe: \(Z \times (Z \backslash\{0\}\) : \((a,b) \sim(c,d) : \leftrightarrow ad=bc\)

Ich soll zeigen, dass diese Relation reflexsiv, symmetrisch, anti-symmetrisch und transitiv ist. Oder mit einem Gegenbeispiel widerlegen. 

Weiß nicht, wo ich anfangen soll. 

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Anfangen mit reflexiv. Sich klar machen, was die Objekte hier sind: Zahlenpaare.
Bedingung für reflexiv also: Für alle Paare $(a,b)$ gilt: $(a,b)\sim (a,b)$.
Ist das erfüllt? Prüfe mit der Def. der Relation.
Dann weiter mit den symmetrisch und transitiv.
Und Begründungen formulieren bzw. Gegenbeispiel (konkret!) angeben,
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Lehrer/Professor, Punkte: 38.93K

 
Also, reflexiv: \((a,b)R(a,b) \rightarrow ab = ba\)
Symmetrie: \((a,b)R(c,d) \rightarrow ad = bc \rightarrow bc = ad \rightarrow cb = da \rightarrow (c,d)R(a,b)\)
Transitivität: \((a,b)R(c,d) \wedge (c,d)R(e,f) \rightarrow ad = bc \wedge cf=de \rightarrow adcf =bcde \rightarrow af = be \rightarrow (a,b)R(e,f)\)

Kann man das so zeigen?   ─   universeller 19.10.2021 um 07:36
Es handelt sich übrigens um die Äquivalenz von Brüchen!   ─   gerdware 19.10.2021 um 11:37
Bei der Reflexivität ist \(ab=ba\) ja offensichtlich wahr. Transitiv kann man kürzen, weil \(Z \backslash \{0\}\) gilt.   ─   universeller 19.10.2021 um 15:30

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.