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\(P[X = t] = 0\) gilt doch aber für allg. Zufallsvariabeln oder nicht?
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hermionestranger
10.08.2020 um 18:23
Nein das gilt im Allgemeinen nicht. Selbst für stetige Zufallsvariable muss das nicht gelten. Sei beispielsweise \(X\) eine normalverteilte Zufallsvariable. Dann kann ich \(Y\) wie folgt definieren:
\(Y=X1_{\lbrace X\geq0\rbrace}X\).
Dann ist P(Y=0)=0.5 aber dennoch ist Y ja eine stetige Zufallsvariable.
Aber es gilt zum Beispiel für alle Zufallsvariablen, die eine Dichtefunktion besitzen. ─ benesalva 10.08.2020 um 18:34
\(Y=X1_{\lbrace X\geq0\rbrace}X\).
Dann ist P(Y=0)=0.5 aber dennoch ist Y ja eine stetige Zufallsvariable.
Aber es gilt zum Beispiel für alle Zufallsvariablen, die eine Dichtefunktion besitzen. ─ benesalva 10.08.2020 um 18:34
Vielen Dank! Ich glaube bei uns im Skript wird die Existenz der Dichtefunktion vorausgesetzt.
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hermionestranger
10.08.2020 um 20:32
@benesalvatore,
Vielleicht sehe ich ja hier etwas falsch, aber die so definierte ZV Y ist doch eigentlich nicht stetig.
Es ist zwar
\[F_Y(0)=\frac{1}{2}\], aber für \[y\in(-\infty,0)\] müsste \[F_Y(y)=0\] gelten.
Womit Y nicht stetig wäre.
Die Aussage sollte für stetige ZV schon gelten, da für \[x\in\mathbb{R}\] gilt:
\[\mathbb{P}(X=x)=\lim_{\epsilon\to 0^+} F_X(x+\epsilon)-F_X(x-\epsilon)=0\]. ─ orbit 19.08.2020 um 20:04
Vielleicht sehe ich ja hier etwas falsch, aber die so definierte ZV Y ist doch eigentlich nicht stetig.
Es ist zwar
\[F_Y(0)=\frac{1}{2}\], aber für \[y\in(-\infty,0)\] müsste \[F_Y(y)=0\] gelten.
Womit Y nicht stetig wäre.
Die Aussage sollte für stetige ZV schon gelten, da für \[x\in\mathbb{R}\] gilt:
\[\mathbb{P}(X=x)=\lim_{\epsilon\to 0^+} F_X(x+\epsilon)-F_X(x-\epsilon)=0\]. ─ orbit 19.08.2020 um 20:04
@orbit Eine Zufallsvariable heißt doch stetig, wenn sie überabzählbar unendlich viele Werte annehmen kann. Und das ist für Y erfüllt.
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benesalva
19.08.2020 um 20:15
@benesalvatore,
Diese Definition ist mir noch nie untergekommen. Wo hast du die denn her?
In meinen Vorlesungen wurde eine ZV als (absolut) stetig definiert, wenn sie eine Dichte besitzt.
Und dann allgemeiner als stetig, wenn die Verteilungsfunktion stetig ist.
So steht es jedenfalls auch in den typischen Lehrbüchern, siehe z.B die von Klaus D. Schmidt oder Marek Fisz.
An einem Link bzw an einer Quelle zu deiner genannten Definition wäre ich allerdings auch sehr interessiert. ─ orbit 19.08.2020 um 20:32
Diese Definition ist mir noch nie untergekommen. Wo hast du die denn her?
In meinen Vorlesungen wurde eine ZV als (absolut) stetig definiert, wenn sie eine Dichte besitzt.
Und dann allgemeiner als stetig, wenn die Verteilungsfunktion stetig ist.
So steht es jedenfalls auch in den typischen Lehrbüchern, siehe z.B die von Klaus D. Schmidt oder Marek Fisz.
An einem Link bzw an einer Quelle zu deiner genannten Definition wäre ich allerdings auch sehr interessiert. ─ orbit 19.08.2020 um 20:32