Hallo,

du hast die Fallunterscheidung auf den Betrag richtig angewandt, aber dann das Integral nicht ganz richtig aufgeschrieben. Es ist

$$ v = \pi \int\limits_{-1}^1 \left( e^{1-2|x|} \right)^2 \ \mathrm{d}x $$

Jetzt spalten wir das Integral auf in eine Summe aus 2 Integralen. Welche Aufspaltung bietet sich da an?

Dann kannst du die jeweiligen Fälle in dein Integral einsetzen. 

Nun substituiere mal ein Integral so, dass es die selben Grenzen wie das andere hat und füge die Integrale mal zusammen. 

Vielleicht fällt dir hier schon was auf. Wenn nicht, melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian

Du kannst dein Rotationsvolumen auf zwei Art und Weisen bestimmen. Deine Fallunterscheidung für \(f(x)\) hinsichtlich des Betrages solltest du nutzen.

(1) Du berechnest teilst dein Integral entsprechend deiner Fallunterscheidung:

\(\displaystyle{\int_{-1}^1 \left(e^{1-2|x|}\right)^2 dx =\int_{-1}^0 \left(e^{1+2x}\right)^2 dx+\int_0^1 \left(e^{1-2x}\right)^2dx =\ldots =e^2\cdot \int_{-1}^0 e^{4x} dx +e^2\cdot \int_0^1 e^{-4x} dx=\ldots}\)

(2) Da die Funktion achsensymmetrisch ist kannst du auch rechnen:

\(\displaystyle{\int_{-1}^1 \left(e^{1-2|x|}\right)^2 dx =2\cdot \int_0^1 \left(e^{1-2x}\right)^2 dx =\ldots =2e^2\cdot \int_0^1 e^{-4x} dx=\ldots}\)

und damit den lästigen Betrag beim bilden deiner Stammfunktion einfach weglassen.

Hoffe das hilft weiter.