Integration Rotationsvolumen

Aufrufe: 701     Aktiv: 22.01.2021 um 23:14

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Hallo zusammen,

ich bin bei der Aufgabe überfragt.

Als Ergebnis soll Pi*sinh2 rauskommen aber ich wüsste nicht wie ich dazu komme?!

Danke 

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Student, Punkte: 86

 
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Hallo,

du hast die Fallunterscheidung auf den Betrag richtig angewandt, aber dann das Integral nicht ganz richtig aufgeschrieben. Es ist

$$ v = \pi \int\limits_{-1}^1 \left( e^{1-2|x|} \right)^2 \ \mathrm{d}x $$

Jetzt spalten wir das Integral auf in eine Summe aus 2 Integralen. Welche Aufspaltung bietet sich da an?

Dann kannst du die jeweiligen Fälle in dein Integral einsetzen. 

Nun substituiere mal ein Integral so, dass es die selben Grenzen wie das andere hat und füge die Integrale mal zusammen. 

Vielleicht fällt dir hier schon was auf. Wenn nicht, melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian

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Hallo Christian,
Ich habe oben das Bild mal aktualisiert.
Habe 2 verschiedene Wege probiert um aufzuspalten. Bin aber nicht wirklich schlauer geworden 😪
Habe auch Zweifel ob ich nicht überhaupt nur mist geschrieben habe
  ─   symrna35 22.01.2021 um 19:44

Ich wüsste auch nicht wie ich mit dem Betrag da umgehen muss ?!   ─   symrna35 22.01.2021 um 22:09

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Es gilt
$$ \pi \int\limits_{-1}^1 \left( e^{1-2|x|} \right)^2 = \pi \left( \int\limits_{-1}^0 \left( e^{1-2|x|} \right)^2 + \int\limits_{0}^1 \left( e^{1-2|x|} \right)^2 \right) = \pi \left( \int\limits_{-1}^0 \left( e^{1+2x} \right)^2 + \int\limits_{0}^1 \left( e^{1-2x} \right)^2 \right) $$
So wirst du den Betrag los, Kommst du nun weiter?
  ─   christian_strack 22.01.2021 um 23:04

Danke Christian habe es mittlerweile gelöst.
Bei deiner Eingabe ist aber ein Fehler unterlaufen glaub ich
Vielen Dank für die Hilfe!
LG
  ─   symrna35 22.01.2021 um 23:05

Ah ok das freut mich zu hören. :)
Die Formel sollte jetzt richtig sein
  ─   christian_strack 22.01.2021 um 23:06

oh jetzt hab ich den ganzen spaß eingegeben und sehe jetzt das ihr das grad gelöst habt >.< ... naja der Fall mit der Achsensymmetrie ist wenigstens noch eine alternative ^^   ─   maqu 22.01.2021 um 23:12

oh nein :) Trotzdem vielen lieben Dank ! Habe es endlich verstanden und lösen können.

  ─   symrna35 22.01.2021 um 23:13

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Du kannst dein Rotationsvolumen auf zwei Art und Weisen bestimmen. Deine Fallunterscheidung für \(f(x)\) hinsichtlich des Betrages solltest du nutzen.

(1) Du berechnest teilst dein Integral entsprechend deiner Fallunterscheidung:

\(\displaystyle{\int_{-1}^1 \left(e^{1-2|x|}\right)^2 dx =\int_{-1}^0 \left(e^{1+2x}\right)^2 dx+\int_0^1 \left(e^{1-2x}\right)^2dx =\ldots =e^2\cdot \int_{-1}^0 e^{4x} dx +e^2\cdot \int_0^1 e^{-4x} dx=\ldots}\)

(2) Da die Funktion achsensymmetrisch ist kannst du auch rechnen:

\(\displaystyle{\int_{-1}^1 \left(e^{1-2|x|}\right)^2 dx =2\cdot \int_0^1 \left(e^{1-2x}\right)^2 dx =\ldots =2e^2\cdot \int_0^1 e^{-4x} dx=\ldots}\)

und damit den lästigen Betrag beim bilden deiner Stammfunktion einfach weglassen.

 

Hoffe das hilft weiter.

 

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Vielen Dank! Ich habe es eben endlich lösen können :) lg   ─   symrna35 22.01.2021 um 23:12

ja habs grad gelesen :D top! ... habe zu lange gebraucht um die integrale einzutippen und es danach erst gesehen^^   ─   maqu 22.01.2021 um 23:14

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