Betragsstriche sind dann wichtig wenn man zwischen Betrag und Vektor unterscheidet. Wenn du z.B. einen Vektor hast, gibst du ihn in den üblichen drei Koordinaten an, die nur die Richtungen beschreiben. Wenn du allerdings die Betragsstriche setzt, gibt der Vektor nur seine Länge an, also nur eine Zahl. Zudem ist es wichtig, dass du beim Betrag immer den postiven Wert angibst, selbst wenn etwas negatives rauskommt, da das Negative in diesem Falle ebenso eine Richtungsangabe ist, aber das will man ja vermeiden.

In diesem Fall vermute Ich, dass die Betragsstriche in einem Gesammtzusammenhang, also im Kontext zu sehen sind ;) In der höheren Mathematik beschäftigt man sich ebenfalls mit genau dieser Situation, jedoch ist jene dann bezogen auf den Satz der Dreiecksungleichung, die man meistens erst im Studium lernt... kleiner Spoiler:D   Zurück zu deinem eigentlichen Problem lässt sich sagen, dass die Betragstriche aussagen, dass du keine negative Fläche betrachtest. Zum Beispiel bei der Berechnung eines Wasserzu- bzw. abfluss. Hierbei würdest du im Kontext nämlich keine negativen Werte erwarten, da du ja nicht weniger als kein (0) Wasser haben kannst. Darum benutzt man hierbei den Betrag.

Ich hoffe das ist dadurch verständlicher geworden

Die Betragsstriche brauchst du, wenn du mit dem Integral einen Flächeninhalt ausrechnen möchtest. Wenn der Funktionsgraph unterhalb der x-Achse liegt, dann ist das Integral negativ, aber der Flächeninhalt ist natürlich positiv. Deshalb musst du den Betrag des Integrals nehmen, damit das Ergebnis positiv wird.