Algebra - Gruppen/Ringe

Aufrufe: 294     Aktiv: 21.03.2024 um 16:30
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Hallo zusammen,
ich bin gerade beim Thema Algebraische Grundstrukuren.
Kann mir jemand erklären, warum folgende Halbgruppe (Z, ·) keine Gruppe ist?
Das neutrale Element der Multiplikation ist ja 1. Warum sind dann bei der Menge der ganzen Zahlen nur 1 und -1 invertierbar bezogen auf die Multiplikation? Die Formel zur Invertierbarkeit hierfür lautet ja: a · a−1 =1,wenn ich nun also bspw. 2 einsetzen würde, sprich 2 · 2−1 ergibt das ja auch 1 und somit müsste 2 auch invertierbar sein.
 

Zusätzliche Frage zum Ring (R, +, ·). Hier gelten ja folgende Bedingungen:
  1. (R, +) ist eine abelsche Gruppe.
  2. (R, ·) ist eine Halbgruppe mit neutralem Element.
  3. Für alle a, b, c ∈ R gelten die Distributivgesetze.
Kann man hier nicht pauschal sagen, dass Bedingung 2 automatisch eine abelsche Halbgruppe ist, sofern als Verknüpfung Multiplikation vorliegt? Denn a · b = b · a ist immer kommutativ.
 
Kann man zudem pauschal sagen, dass jede Gruppe auch eine abelsche Gruppe ist?
 
Danke für die Unterstützung!
 
Gruß
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Als Helfer wünscht man sich ja, dass der Frager was aus den Antworten lernt. Das hat beim zweiten Teil meiner vorigen Antwort nicht geklappt, schade...
Und zu deiner Frage: du kennst doch die Definition der Multiplikation gar nicht, woher willst du dann wissen, dass sie kommutativ ist?
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Hi mikn,
die Antwort hat mir auf jeden Fall weitergeholfen, jedoch stehe ich vermutlich ziemlich auf dem Schlauch und ein einfacher Tipp auf meine Fragen würde mir helfen, dass sich der Kreis schließt und ich es vollumfänglich verstanden habe.

Würde mich freuen, wenn ich eine hilfreiche Antwort darauf bekomme!

Vielen Dank vorab.   ─   user3b13c9 21.03.2024 um 14:29
Einfache Tipps s.o. und bei der vorigen Frage. Setz dich damit auseinander. Warum sollte ich meine Antwort nochmal abschreiben?
Zum zweiten Teil habe ich ja eine Frage gestellt...   ─   mikn 21.03.2024 um 14:34
Oke ich stand ziemlich auf dem Schlauch, klar 2^-1 ist ja der Bruch von 1 durch 2, was natürlich kein Element der ganzen Zahlen ist.

Egal ob rational, reell, ganz oder natürlich, bei der Multiplikation zu diesen Mengen fällt mir kein Beispiel ein was nicht kommutativ ist.   ─   user3b13c9 21.03.2024 um 15:53
Aha, geht doch.
Dass dir beim zweiten Teil kein Beispiel einfällt, das nicht kommutativ ist, heißt nichts. Und die Objekte können bei weitem nicht nur Zahlen sein, und die Verknüpfungen nicht nur Multiplikationen. Welche
Beispiele gab es in der Vorlesung?
Auch gesunder Menschenverstand hilft: warum sagt man "abelsche Gruppe", wenn das "abelsch" überflüssig ist?!   ─   mikn 21.03.2024 um 16:30

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