Konvergenz und Grenzwert bei Folgen

Erste Frage Aufrufe: 559     Aktiv: 27.01.2021 um 20:48
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Ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht an die Lösung, Hilfe wäre sehr gut.

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Punkte: 14

 
Was darfst du denn verwenden? Wenn du weißt, dass \(\frac 1 n\) eine Nullfolge ist geht die Wurzel gegen eins, also der Ausdruck in der Klammer gegen 0 und damit auch die ganze Folge. Es kommt halt drauf an was für Grenzwertsätze du schon kannst. Oder sollst du das mit epsilon-kriterium machen?   ─   mathejean 27.01.2021 um 19:42
Heißt das, dass das ganze hier gegen 0 konvergiert?   ─   zuro 27.01.2021 um 20:01
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Nein, siehe unten.   ─   slanack 27.01.2021 um 20:48
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1 Antwort
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Erweitere den Klammerausdruck mit \(\left(1+\sqrt{1-\frac1n}\right)\).  Benutze eine binomische Formel.  Danach kannst Du vereinfachen und den Grenzwert leicht ausrechnen.

Dies ist ein wichtiger Standardtrick.

Hilft das?

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Lehrer/Professor, Punkte: 4K

 
Die Frage gehört zu den schwereren Fragen in der Klausur, bin da aber wirklich komplett raus. Könnten Sie mir vllt. die Aufgabe vorrechnen ? Das wäre wirklich eine große Hilfe   ─   zuro 27.01.2021 um 19:59
Ok: \begin{multline*}a_n=n\left(1-\sqrt{1-\frac1n}\right)=n\frac{\left(1-\sqrt{1-\frac1n}\right)\left(1+\sqrt{1-\frac1n}\right)}{1+\sqrt{1-\frac1n}}\\[1ex]=n\frac{1-\left(\sqrt{1-\frac1n}\right)^2}{1+\sqrt{1-\frac1n}}=n\frac{1-(1-\frac1n)}{1+\sqrt{1-\frac1n}}=\frac{1}{1+\sqrt{1-\frac1n}}\to\frac12\end{multline*} für \(n\to\infty\).   ─   slanack 27.01.2021 um 20:46

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