Hallo,
Dein berechnetes Taylorpolynom kannst du einfach selbst überprüfen, indem du dir die beiden Funktionen mal plottest. Sollte ne gute Näherung sein, wenn nicht schau nochmal in den Ableitungsrechner und vergiss die Vorfaktoren mit den Fakultäten nicht. Nun zur Abschätzung: Schreibe dir mal den Betrag dieser Differenz auf. Den cos kannst du immer gut nach oben abschätzen, überlege dir einfach was cos(x) höchstens werden kann. Des Weiteren musst du das Intervall verwenden auf dem du die Ungleichung zeigen willst. Damit kannst du dann auch eine Abschätzung für den Exponentialterm erhalten.

Viele Grüße

Dein Taylor-Polynom ist richtig. Bei der Abschätzung geht es um die Restgliedformel, die lautet \(f(x)-T_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\), wobei \(z\) zwischen \(x\) und \(x_0\) liegt.

Hier hat man \(x_0=0\) und \(n=2\). Es ist

\(f^{(3)}(x) = e^{-x^2}((18x-8x^3)\cos x +(7-12\,x^2)\sin x)\).

(Beim Ableiten immer sofort \(e^{-x^2}\) ausklammern und den Rest nach \(\cos x\) und \(\sin x\) sortieren. Ich hab das aber mit wolframalpha gerechnet).

Diesen Ausdruck musst Du, zum Betrag genommen, nach oben abschätzen für \(|z|\le 1\). Anleitung: Dreiecksungleichung, \(e^{-z^2}\le 1, |\cos z| \le 1, |\sin z| \le 1\). Aus dem ersten Summanden \(z\) ausklammern. Dann kommt man auf \(|f^{(3)}(z)|\le 18+8+7+12\). Einsetzen in die Restgliedformel, fertig.