Hallo Zusammen

Ich hätte da folgende Aufgabe:

 

Zeige, dass die Funktion \(f(x,y)=\frac{2xy^2}{x^2+y^4}\) falls \((x,y)\neq (0,0)\) und \(f(x,y)=0\) falls \((x,y)=(0,0)\) in (0,0) alle Richtungsableitungen besitzt. 

 

Ich hätte das so gemacht:

 

Sei \((h_1,h_2)\in \mathbb{R}^2-{(0,0)}\) eine beliebige Richtung dann gilt \(\frac{f(t(h_1,h_2))-f(0,0)}{t}=\frac{2t^3h_1h_2^2}{t^3(h_1^2+t^2h_2^4)}\stackrel{t\rightarrow 0}{\rightarrow}\frac{2h_2^2}{h_1}\). Da nun also der Limes existiert heisst das dass alle Richtungsableitungen in \(h\in \mathbb{R}^2-{(0,0)}\) existieren.

 

So weit haben sie es in der Lösung auch gemacht, doch dann haben sie noch gesagt wenn h=(0,0) ist dann ist dieser Bruch von oben, bzw. der Limes 0 und dann haben sie erst gesagt dass alle richtungsableitungen exisiteren. Doch wieso muss man das machen, denn die Definition der Richtungsableitung geht doch nur für \(h\neq (0,0)\).

 

Könnte mir das jemand erklären?