Wie beweise ich die Konvergenz dieser Potenzreihe?

Aufrufe: 923     Aktiv: 24.02.2021 um 22:42

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Hallo Zusammen, ich müsste folgende Aussage beweisen. Es geht darum zu zeigen, dass die \(n\)-te Bessel-Funktion konvergiert \(\forall x\in \mathbb{C}\) dabei bin ich mir nicht ganz sicher ob ich das so machen darf. Könnte sich das jemand kurz anschauen?

Vielen Dank und liebe Grüsse




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Deine Quotientenformel kannst Du für die Reihe in dieser Form nicht anwenden, denn da jedes zweite a_k=0 ist, ist der Quotient nicht berechenbar.
Du kannst aber damit die Konvergenz der Reihe \(\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}z^k\) nachweisen, so wie Du es gemacht hast. Da diese Reihe für alle z konvergiert, kann man auch \(z=(\frac{x}2)^2\) einsetzen und sie konv. immer noch für alle x. Dann muss man die Reihe nur noch mit \((\frac{x}2)^n\) multiplizieren (unkritisch, da unabhängig von k) und man ist bei \(J_n\).
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Also habe kurz zwei Fragen,
1. mir ist bewusst, dass jedes zweite a_k=0 ist, aber in der Vorlesung haben wir es genau gleich notiert, okei ich habe vergessen mein q überall korrekt einzusetzen bzw alle k's zu ersetzen aber sonst haben wir es genau gleich gemacht und dann einfach den Konvergenzradius berechnet wieso geht das hier nicht.
2. Ja das habe ich mir auch überlegt aber darf ich dann also einfach sage wenn für meine meine "modifizierte" Reihe gilt \( \forall x \in \mathbb(C)\) gilt \(|x|<\rho\), sprich die Reihe konvergiert, und da \((\frac{x}{2})^2\) eine Konstante ist, dass dann auch die Ursprüngliche Reihe \(J_n\) konvergiert?
  ─   karate 24.02.2021 um 20:08

1. wir haben eben wenn wir genau die \(\sum a_ix^{2i}\) anschauen gesagt, dass wir uns eine neue Summe "konstruieren" nämlich \(\sum b_kx^{k}\) wobei \(k=2i\), dabei gilt \(b_k=0\) falls \(k\) ungerade ist und \(b_k=a_k\) falls k gerade ist. Dann haben wir einfach den Konvergenzradius von der Reihe berechnet und dabei nur \(a_k\) berücksichtigt.
2. Aber das Problem ist ja, dass es für alle \(|z|<+\infty\) gilt, und da kann ich ja nicht sagen es für alle \((\frac{x}{2})^2<+\infty\) konvergiert bzw ich kann da ja nicht nach \(x\) umformen, da ich ja unendlich weder mit 4 multiplizieren noch die wurzel davon ziehen darf.


Ich habe es nun wie folgt versucht ist das falsch? (siehe bild oben, habe ein neues hochgeladen)
  ─   karate 24.02.2021 um 22:19

Zu 1. Ja irgendwie hat das jeder so akzeptiert und nein es gibt kein Lemma, denn es war einfach eine Aufgabe dir wir zum Thema Konvergenzradius behandelt haben.
Zu 2. Also stimmt das so wie ich es hochgeladen habe?
  ─   karate 24.02.2021 um 22:34

Okei super, ja dein Tipp finde ich super, werde ich mir versuchen anzugewöhnen vielen herzlichen Dank! finde wirklich super wie du hier Dinge erklärst.   ─   karate 24.02.2021 um 22:37

danke das ist schön zu hören, versuche mir auch viel Mühe zu geben dass ich das möglichst gut machen kann   ─   karate 24.02.2021 um 22:42

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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Das ergibt so keinen Sinn. Du definierst \( q=n+2k \), ersetzt aber dann bei der neuen Reihe bei den Koeffizienten das \(k\) einfach durch das \( q \). Damit sind die Reihen natürlich nicht gleich und somit erübrigt sich alles weitere.

Eigentlich ist die Sache ganz einfach. Man kann hier beispielsweise das Quotientenkriterium für Reihen benutzten. Hier liegt ja einfach nur eine Reihe \( \sum_{k=0}^\infty a_k \) mit \( a_k=\frac{(-1)^k}{k! \ (n+k)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{n+2k} \) und \( x \in \mathbb{C} \) vor. Man erhält dann einfach \( \vert \frac{a_{k+1}}{a_k} \vert = \frac{\vert x \vert^2}{4(k+1)(n+k+1)} \to 0 \) für \(k \to \infty \) und somit mit dem Quotientenkriterium die Konvergenz.
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Okei aber wenn ich nun alle k's korrekt ersetzen würde, würde mein weg so funktionnieren oder nicht?
Ah ja natürlich an das Quotientenkriterium habe ich ehrlich gesagt nicht gedacht vielen Dank.
  ─   karate 24.02.2021 um 20:10

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