Bis zu "n ist durch 4 teilbar" kann ich folgen, ist ok. Dann rechnest Du aber mod4 weiter, und erhälst $(b+a)(b-a) \equiv 0$ mod4, aber das wussten wir ja schon. Wie kommst Du dann auf den Teiler 8?
Rechne in der letzten Tabelle mod8, das sind die Reste 1,3,5,7. Alle Kombinationen der Form $b^2-a^2$ (rechnet sich einfacher als $(b+a)(b-a)$, finde ich) geben $\equiv 0$ mod8. Sind ein paar mehr Fälle als in Deiner letzten Tabelle, aber soviel mehr auch nicht: $(1,3),(1,5),(1,7),(3,5),(3,7),(5,7)$ (vertauschen ändert nichts an Rest 0, und gleiche Reste geben ja auch Rest 0).