Du hast 3 Fälle:

1. Fall x > 4: Bsp. x = 3, dann hast du (3-4)^2+4 = (-1)^2+4 = 1+4 = 5

2. Fall x = 4: (4-4)^2+4 = 0^2+4 = 4

3. Fall x < 4: Bsp. x = 5, dann hast du (5-4)^2+4 = 1^2+4 = 1+4 = 5

Also gilt, du kriegst keinen Wert heraus, der kleiner als 4 ist. Andersherum kannst du beliebig große bzw. kleine Zahlen für x einsetzen und kriegst immer was positives großes heraus, bis ins unendliche. Folglich gilt: [4,unendlich) ist dein Intervall. Die Klammerung ist auch entscheiden, links muss eine [ Klammer stehen, da 4 deine untere Intervallgrenze ist und du sie auch mit x = 0 erreichen kannst. Bei unendlich ist es logischerweise die ) Klammer.

Wenn man noch formal beweisen möchte, dass \( \{ (x-4)^2+4 \ \vert \ x \in \mathbb{R} \} = [4, \infty) \) ist, kann man dazu folgendermaßen vorgehen:

Sei \( y \in \{ (x-4)^2+4 \ \vert \ x \in \mathbb{R} \} \). Dann gibt es ein \( r \in \mathbb{R} \) mit \( y = (r-4)^2+4 \). Wegen \( (r-4)^2 \ge 0 \) folgt hieraus \( y \ge 4 \), oder anders gesagt \( y \in [4, \infty) \).

Dies zeigt \( \{ (x-4)^2+4 \ \vert \ x \in \mathbb{R} \} \subset [4, \infty) \).

Sei nun andererseits \( y \in [4, \infty) \), also \( y \ge 4 \). Damit ist der Ausdruck \( \sqrt{y-4} \) wohldefiniert und wir können \( r = \sqrt{y-4}+4 \) setzen. Hieraus folgt dann \( y = (r-4)^2+4 \in \{ (x-4)^2+4 \ \vert \ x \in \mathbb{R} \} \).

Dies zeigt \( [4, \infty) \subset \{ (x-4)^2+4 \ \vert \ x \in \mathbb{R} \} \).