Ungleichung mit Parameter lösen

Aufrufe: 2101     Aktiv: 12.07.2020 um 14:48
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Hallo,

ich habe für folgende Ungleichung \( x \le \sqrt{a+x^2}\) folgende Lösungsmenge \( (-\infty, \sqrt{-a/2}] \bigcup [-\sqrt{-a},\infty)\)

Hier mein Lösungsweg:

Wäre das so korrekt? In meiner Lerngruppe sind wir etwas verschiedener Meinung bezüglich des negativen Bereichs, ob \( -\sqrt{-a/2}\) kleiner als \( -\sqrt{-a}\) ist oder nicht (und was demnach die finale Lösungsmenge ändern würde).

Ich danke euch im Voraus (und sorry für die etwas chaotische Schreibweise)!

 

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Student, Punkte: 51

 
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Zunächst ist für \(a\ge0\) das Ergebnis: \(L=R\), denn \(\sqrt{a+2\,x^2} \ge\sqrt{x^2} = |x| \ge x\) für alle \(x\).

Falls \(a\le 0\). erhält man

falls \(x\le 0\): Ungleichung erfüllt solange \(a+2\,x^2\ge 0\), also \(x\le -\sqrt{-\frac{a}2}\);

falls \(x\ge 0\): Ungl erfüllt für alle \(x\ge \sqrt{-a}\).

Insgesamt also:

\(L=(-\infty, -\sqrt{-\frac{a}2}] \cup [\sqrt{-a},\,\infty)\)

Übrigens ist \(-\sqrt{-\frac{a}2} = -\frac1{\sqrt{2}} \,\sqrt{-a}\ge -\sqrt{-a}\)

 

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Lehrer/Professor, Punkte: 40.29K

 
Super, vielen Dank! Vor allem der Tipp mit dem Auseinaderziehen der Wurzel hilft mir sehr! Habe das komplett übersehen   ─   anonym4fb50 12.07.2020 um 14:48

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Mikn wurde bereits informiert.
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