Diskrete Fouriertransformation für periodisches Gitter im Ortsraum

Erste Frage Aufrufe: 164     Aktiv: 29.04.2024 um 13:31

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Hallo zusammen, ich habe eine Abbildung der Aufgabe eingefügt. Habe selbst leider keine Vorstellung wie an die Sache heranzugehen ist und bitte um Hinweise/ Lösungsansätze. Vorallem wäre wichtig zu wissen, was man tun muss, wenn in der Aufgabenstellung "zeigen Sie, argumentieren Sie, rechnen Sie nach, das...." steht.
Ich bedanke mich schon einmal für die Unterstützung.

EDIT vom 28.04.2024 um 17:21:

Ist davon irgendwas zu gebrauchen? ich weiß auch nicht genau wie mit dem delta umzugehen ist. und wieso man die Def. 4 zum nachrechnen braucht. viele grüße
gefragt

Punkte: 12

 

Wenn Du nicht weißt, was ein Beweis ist (weil Du mit "Zeigen Sie" nichts anfangen kannst), dann hat es keinen Sinn Dir hier zu helfen.
Trotzdem ein Versuch (wenn das klappt, gerne weitere Hilfe): Zuerst sollst Du Gleichung (6) mithilfe (4) nachweisen. Dazu rechnet man am besten von der komplizierteren Seite los. Auf geht's.
Lade dann Deine Rechnung bzw. Versuch dazu hier hoch (oben "Frage bearbeiten").
  ─   mikn 28.04.2024 um 16:54

vielen Dank für die Rückmeldung, ich habe eine Bearbeitung zur 2a hochgeladen   ─   user959f66 28.04.2024 um 17:25
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2 Antworten
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Lass uns an die Definition des $\delta_{n,0}$ kurz erinnern:

$$ \delta_{n,0}=\begin{cases}1 \; n=0  \\ 0 \;  \text{sonst}\end{cases} $$

Und hier bemerke ich, das ein Fehler in der Aufgabenstellung ist. Entweder man summiert von $l=1$ bis $N$ und schreibt $\delta_{n,N}$ ODER man summiert von $l=0$ bis $N-1$ und behält das $\delta_{n,0}$. Der Wert $n=0$ ist nämlich gar nicht zulässig nach Aufgabenstellug. Sicherlich ist dieser Schulstoff Fehler niemanden entgangen!

 

 

Mit $x_n=na$ und $q_l= \frac{2 \pi l}{L}$ folgt

$$\frac{1}{N} \sum_{l=0}^{N-1} e^{i \frac{2 \pi l}{L}na}=\frac{1}{N} \sum_{l=0}^{N-1} \big( e^{2\pi i \frac{n a}{L} } \big)^l$$
Jetzt müssen wir eine Fallunterscheidung machen: 

Für $n=0$, ist die Summe einfach nur $\frac{1}{N} \sum_{l=1}^N 1=1$. Ansonsten nutzt du, dass $\frac{Na}{L}=1$ und $e^{2 \pi i \cdot 1}=1$.

 

Für $n \neq 0$, greift die geometrische Summenformel für $z \in \mathbb{C}$ mit $z \neq 1$

$$\sum_{l=0}^{N-1} z^l= \frac{1-z^{N}}{1-z}.$$

Mit $z=e^{2\pi i \frac{n a}{L}} \neq 1$ folgt daraus

$$ \sum_{l=0}^{N-1} z^l= \frac{1-e^{2\pi i \frac{N n a}{L} }}{1-e^{2\pi i \frac{n a}{L} }}.$$

Aber auch hier sehen wir, dass der Zähler wegen $L=Na$ und $n \in \mathbb{N}$ gleich $0$ ist. Analog funktioniert das für den verschobenen Index, pass aber - wie gesagt - auf die Indizes bei der geometrischen Summenformel auf.

Vollziehe das erstmal in Ruhe nach und dann versuch dich an den anderen, schwereren Aufgabenteilen. Du brauchst hier für Rest des ersten Teils nur Kenntnisse von komplexen Zahlen und wie du Summen manipulierst.

 

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Erst einmal vielen Dank für die Hilfe. Beim letzten Ausdruck käme da 0/0 raus? Da e^2pi mal einer beliebigen konstanten immer 1 wird (cos(2pi))+ i sin(2pi)= 1

Ich kann noch nicht nachvollziehen dass bei n=0 e^(2pi i × 1) = 0 ist.
  ─   user959f66 29.04.2024 um 11:02

Das soll $e^{2 \pi i 1}=1$ sein, habe ich falsch geschrieben. Beim letzten Ausdruck kommt $\frac{0}{1- e^{2 \pi i \frac{na}{L}}}$ raus. Daber $na \neq L$ nach, ist der Nenner nicht $0$.   ─   crystalmath 29.04.2024 um 11:16

Lass Dich nicht verunsichern, die Gleichung (6) ist völlig ok genauso wie sie da steht. Man muss aber $x_0=0$ verwenden, also in der Aufgabenstellung ganz oben $x_n=na$ für $n=0,...,N$ lesen.   ─   mikn 29.04.2024 um 11:42

In dem Fall muss man aber nur bis $N-1$ die Gitterpunkte nehmen, da man sonst den Anfangs und Endpunkt doppelt summiert. Dank Periodizität ist es egal, ob man jetzt $0... N-1$ oder eben $1...N$ nimmt, aber man sollte sich für eines entschieden.   ─   crystalmath 29.04.2024 um 11:59

In den Summen ist nichts doppelt summiert.   ─   mikn 29.04.2024 um 12:02

Doch, wenn du irgendeine N-Einheitswurzel $1 \neq q^l=\exp(2\pi i \frac{l}{N}) \in \mathbb{C}$ hast, gilt
$$\sum_{l=0}^N q^l=1+\sum_{l=0}^{N-1} q^l=1+ \frac{1-q^N}{1-q}=1$$
und somit summierst du $1=\exp(2\pi i \frac{0}{N})$ und $1=\exp(2\pi i \frac{N}{N})$ doppelt. Du kannst dich jetzt entscheiden: Willst du den term $q^0$ oder $q^N$ nicht mit reinnehmen, da sonst die Summe sonst IMMER 1 ist. Mit Normierungsfaktor aus der Aufgabenstellung sogar $\frac{1}{N}$.
  ─   crystalmath 29.04.2024 um 12:08

Jetzt ist es aber so, dass wenn man den Term mit $l=0$ hinzufügt, muss man den Term mit $l=N$ hintenrum wieder rausnehmen. Sprich wenn du anfängst, mit den $x_0$ und $l_0$ termen hantiere, musst du eben den Summan mit $x_N$ und $l_N$ wieder rausnehmen.   ─   crystalmath 29.04.2024 um 12:10

Die Summen auf dem Aufgabenblatt laufen von $1$ bis $N$, da ist nichts doppelt summiert und daher ist dort alles in Ordnung.   ─   mikn 29.04.2024 um 12:26

Ja, völlig korrekt, aber $n=0$ is kein zulässiger wert für $\delta_{n,0}$. Somit ist $\delta_{n,0}=0$, was aber die Identität auf dem Blatt falsch macht, wenn man $n=N$ einsetzt. Deshalb war mein Vorschlag, entweder $\delta_{n,N}$ zu schreiben oder eben die Summation zu ändern, damit es wieder korrekt wird.   ─   crystalmath 29.04.2024 um 12:31

Ja, (6) ist für $n=N$ falsch. Ich würde aber daran nichts ändern, im Hinblick auf die späteren Formeln, sondern (6) eben nur für $n=0,...,N-1$ lesen.   ─   mikn 29.04.2024 um 12:43

Ja und später wird wieder von $n=1$ bis $N$ summiert. Was ist dann $x_N$? Dann definiert man sich $x_N=x_0$ und arbeitet damit weiter? Warum kannst du nicht einfach sagen, dass die Aufgabe schlecht gestellt ist und etwas die Aussage (Achtung, O-Ton @mikn) " sondern (6) eben nur für $n=0,...,N−1$ lesen" überhaupt nicht mathematisch ist? Ich denke, das ist auch der einzige Punkt, wo wir uns einig sind: Hand-waving muss man sich durch gutes Wissen verdienen ;-)   ─   crystalmath 29.04.2024 um 12:56

Ich hab bereits darauf hingewiesen, dass die Aufgabenstellung Mängel hat.
Nochmal für den Frager:
1. ganz oben (zweite Zeile) sollte $n=0,...,N$ stehen.
2. hinter (6) sollte stehen "für $n=0,...,N-1$".
  ─   mikn 29.04.2024 um 13:04

Ich denke, der Fragi sollte seinen Übungsleiter/Ansprechpartner an der jeweiligen Anrichtung ansprechen. Schließlich wird der Fragi nicht die einzige Person mit diesem Problem sein. Dann wird es korrigiert und gut ist.   ─   crystalmath 29.04.2024 um 13:31

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Ordne Deine Gedanken: Selbst wenn man nichts verstehen würde, soviel ist klar: in (6) kommt kein $f_n$ vor. Sobald Du also mit $f_n$ rechnest, wird es nichts.
Nochmal: von der komplizierten Seite losrechnen, dann umformen. (4) beachten, Potenzrechenregeln und geometrische Summenformel.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.16K

 

Sorry, ich komme leider immer noch nicht weiter. Was ist gemeint mit der komplizierteren Seite? Könnten Sie geeignete Literatur empfehlen wo eine ähnliche Problemstellung diskutiert wird? Ich habe bisher noch nichts gefunden was mich weiterbringt. Mir würde ggfs. auch erstmal ein Ansatz weiterhelfen, zb. setzte ql da ein, forme um und bilde........ Ich habe so eine Aufgabenstellung leider bisher noch nicht bearbeitet, in der Vorlesung gab es keine Grundlagen dazu (komme aus dem Maschinenbau und möchte mich nun mit solchen Problemstellungen in der Physik befassen). Ich bedanke mich aber schon einmal für Ihre Unterstützung   ─   user959f66 28.04.2024 um 21:51

Du brauchst hier keine Literatur, ich hab Dir gesagt, was Du braucht (Grundlagen, Schulstoff). Ansatz weiterhelfen? Hab ich Dir doch gesagt: Du fängst bei Gleichung (6) mit der komplizierteren der beiden Seiten an. Hinschreiben. Dann weiter wie oben. Fang so an und lade hoch, wie weit Du gekommen bist.   ─   mikn 28.04.2024 um 21:57

@mikn Diesen Kommentar finde ich absolut unmöglich. Das ist kein Schulstoff und den Tipp "einfach anfangen" ist 0 hilfreich. Wenn du nicht weißt, worauf das hinausläuft bei Gleichung (6), kommst du auch nicht weiter. Ich schreibe jetzt eine Teilantwort, da dein Hilfeversuch gescheitert ist.
PS: Dir ist sicherlich nicht entgangen beim losrechnen und umformen, dass die Aufgabenstellung einen Fehler hat, oder?
  ─   crystalmath 29.04.2024 um 09:30

@crystalmath Du ereiferst Dich über meine Antwort/Kommentar ohne richtig gelesen zu haben. Und zitierst auch noch falsch. Damit diskreditiert sich Deine Beurteilung selbst.   ─   mikn 29.04.2024 um 10:44

Wo zitiere ich dich denn falsch? Du hast selber gesagt, dass man nur Grundlagen und Schulstoff (LOL, das Wort ist nur da, um den Fragi dumm aussehen zu lassen mMn) braucht und dein Hilfeversuch ist de facto gescheitert. Ich denke, du kannst es einfach 0 abhaben, außerhalb des Klassenzimmers nicht immer Recht zu haben. Es steht dir aber auch frei, deine eigene Meinung über mich zu haben - das gebe ich dir.   ─   crystalmath 29.04.2024 um 10:47

Warum kannst Du nicht sachlich bleiben? Wenn die Argumente ausgehen, wird man halt persönlich. Woran man ein Zitat erkennt, muss ich Dir doch nicht erklären. Wenn Du Dich abgekühlt hast, wirst Du das auch selbst finden.   ─   mikn 29.04.2024 um 11:13

Ich sage nur meine Meinung und du wirfst mir auch vor, mich zu ereifern. Klassische Doppelmoral. Mein Hauptvorwurf bei dir ist immer 0.0 Empathie gegenüber lernenden Personen und deine Wortwahl ist meiner Meinung nach nicht mehr zeitgemäß für eine Personen in der Lehrer/Professorrolle.
Und das Ganze macht es besonders schlimm, wenn jemand etwas als elementar dahinstellt und dabei nichtmal selber richtig die Aufgabenstellung liest.
  ─   crystalmath 29.04.2024 um 11:21

Leider falle ich gelegentlich auf Deine Provokationen rein. Muss ich noch dran arbeiten. Meld Dich doch wieder wenn Du das Zitat gefunden hast.   ─   mikn 29.04.2024 um 11:34

"Du brauchst hier keine Literatur, ich hab Dir gesagt, was Du braucht (Grundlagen, Schulstoff)" - hier ist das Zitat? Oder was meinst du?   ─   crystalmath 29.04.2024 um 12:15

Schau nach den "..."-Zeichen in Deinem Kommentar, damit werden üblicherweise Zitate gekennzeichnet.   ─   mikn 29.04.2024 um 12:24

Du hängst dich nicht wirklich daran auf, dass ich deine Antwort umschrieben habe in den Anführungszeichen? Aber Entschulding, ich schreibe in Zukunft "losrechnen [1]".

[1]mikn, Diskrete Fouriertransformation für periodisches Gitter im Ortsraum, mathefragen.de, April 2024
  ─   crystalmath 29.04.2024 um 12:30

Ohje, der Unterschied zwischen Zitat und Umschreibung ist Dir nicht klar...
  ─   mikn 29.04.2024 um 12:45

Netter Provokationsversuch, ich gebe dir eine 3/10.   ─   crystalmath 29.04.2024 um 12:51

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