Erzeugendensysteme?

Erste Frage Aufrufe: 135     Aktiv: 05.09.2021 um 23:15

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Hallo,
Für eine anstehende Klausur haben wir einige Übungsaufgaben erhalten, nur leider habe ich keine Ahnung wie ich die lösen soll...
Kann mir jemand helfen?

Die Aufgabe:

Zeige, das alle Lösungen der Gleichung x+ y+z=0 durch die Tupel (0 , 1,−1),(1 ,−1,0),(−1,0,1) erreicht werden können.
Hinweis: Zeige zuerst, dass die drei Tupel die Gleichung erfüllen. Stelle dann eine Vorschrift auf, nach der man eine der drei Variablen aus den anderen beiden berechnen kann. Setze diese Vorschrift in das Tupel (x , y ,z) ein und finde eine Darstellung mithilfe der Tupel (0 , 1,−1),(1 ,−1,0),(−1,0,1) und passenden variablen Vorfaktoren.

Vielen Dank schonmal im Vorraus:)
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Schüler, Punkte: 10

 
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Es steht doch eigentlich haargenau da, was du machen sollst. Löse die Gleichung nach $x$, $y$, und $z$ auf und setze die Lösungen in $(x,y,z)$ ein. Beispielsweise ist $x=-y-z$, also hast du schonmal $(-y-z, \dots, \dots)$. Zum Schluss kannst du das Tupel, so "auftrennen", dass du die drei gegeben Tupel erhältst und jeweils einen Vorfaktor vor den Tupeln stehen hast.
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Selbstständig, Punkte: 11.22K

 

Vielen Dank!   ─   senjaa 01.09.2021 um 22:29

Was meinst du mit auftrennen?   ─   senjaa 02.09.2021 um 13:43

Na, so in Vektoren zerlegen, dass du in den einzelnen Vektoren die gleichen Variablen stehen hast.   ─   cauchy 03.09.2021 um 05:29

Ich hab den letzten Tag versucht zu verstehen wie das jetzt ablaufen soll. Ich komm aber mit dem letzten Teil überhaupt nicht klar... "Zum Schluss kannst du das Tupel, so "auftrennen", dass du die drei gegeben Tupel erhältst und jeweils einen Vorfaktor vor den Tupeln stehen hast.", Meinst du mit den gegebenen Tupeln (0, 1, -1) etc. und wenn ja wie kann dann aus (-y-z, -x-y, -x-z) irgendwas mit Zahlen rauskommen? Sorry für die Nachfrage aber ich schreib am Montag die Klausur und mir will dieser Beweis nicht in den Kopf :(   ─   senjaa 05.09.2021 um 02:26

Schreibe das Tupel als Summe von Tupeln, die nur eine Variable enthalten. Zum Beispiel ist $(a,b)=(a,0)+(0,b)=a(1,0)+b(0,1)$. Das musst du jetzt mit deinem Tupel machen und dann siehst du, dass da genau diese drei Tupel vorkommen und vor ihnen jeweils x, y oder z stehen.   ─   cauchy 05.09.2021 um 05:00

Vielen Dank nochmal! Habs endlich gerafft.. glaube ich zumindest :)   ─   senjaa 05.09.2021 um 23:12

Du kannst gerne deine Lösung in deiner Frage hochladen, dann schaue ich mal drüber. :)   ─   cauchy 05.09.2021 um 23:15

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Hier die Skizze einer Alternativlösung, die wesentlich schneller ist, jedoch mehr Wissen über lineare Abbildungen erfordert: Man kann sofort sehen, dass der Rang der zugehörigen Abbildung (über Matrix) \(1\) ist, woraus folgt, dass der Defekt \(2\) ist. Weise nach, dass zwei der Vektoren im Kern liegen und zeige danach, dass beide linear unabhängig sind. Du  brauchst hier nämlich garnicht alle drei Vektoren, da diese linear abhängig sind, was man mit einem geübten Blick schnell sieht.
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Student, Punkte: 4.52K

 

Ich denke, dass wird nicht zum Niveau "Schüler" passen. Die Antwort ist somit nicht wirklich hilfreich. Darüber hinaus ist der Hinweis zu beachten, der eigentlich genau erklärt, wie diese Aufgabe zu lösen ist. Folglich ist davon auszugehen, dass entsprechende Begriffe wie Kern, Defekt, lineare Abbildung in diesem Zusammenhang nicht behandelt wurden.   ─   cauchy 02.09.2021 um 15:28

Achso, ich bin davon ausgegangen das es sich um Studiumniveau handelt, da ich nicht wusste, dass dieser Stoff noch unterrichtet wird. In NRW scheint sich zummundest die Lineare Algebra in der Schule auf affine Geometrie zu beschränken.   ─   mathejean 02.09.2021 um 17:24

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