Jacobi Methode

Aufrufe: 724     Aktiv: 11.04.2021 um 14:47
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Hi!

Ich habe versucht folgendes lineares Gleichungssystem mittels der Jacobi Methode zu lösen:
3x + 2y - z = 1
2x - 2y + 4z = -2
-x + 0.5y - z = 0

Annahme:
x = 0
y = 0
z = 0

Leider bin ich dabei gescheitert. Als ich nach 9 Iterationen nicht auf die Lösung kam habe ich abgebrochen.



Witzigerweise kommt er hier nach 3 Iterationen auf die richtige Lösung:
https://arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme2.htm




Auch keines der MATLAB Scripts, welche ich gefunden habe konnte es lösen...

Nach Daniel Jungs Video muss die Matrix diagonaldominant sein um sie mit der Jacobi Methode lösen zu können? Stimmt das? und falls ja, wieso konnte die Webseite die Lösung finden? Nutzt diese einen modifizierten Algorithmus? Ich habe die Erklärungen untenzu leider nicht verstanden.


Danke für eure Hilfe!
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Die Matrix sollte diagonaldominant sein, damit das Jacobi-Verfahren konvergiert. Sie muss es aber nicht sein. Diagonaldominanz ist aber eines der wenigen einfachen Kriterien. Die komplizierteren Kriterien (über Eigenwerte) zeigen aber hier, dass das Verfahren für dieses System nicht konvergiert.
Auf der Webseite wird ein System mit dem Newton-Verfahren für Systeme gelöst. Für lineare Systeme ist das aber direkt nach einem Schritt am Ziel (weil es das LGS direkt löst und daher die exakte Lösung liefert). Auf der Webseite ist es unter Benutzung der Inversen programmiert, was komplett unsinnig ist (weil viel zu aufwendig).
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