Hallo,

du hast einen kleinen Fehler gemacht bei der Begründung, dass \( \ln \vert v \vert = ln(x+1) \) gilt. Ich denke du meinst das richtige, aber du hast geschrieben, dass aus \( x > -1 \) auch \( \ln(x+1) > 0 \) folgt. Das stimmt aber nicht. Es bedeutet lediglich dass \( x+1 > 0 \) ist. Damit können wir dann aber die Betragsstriche weglassen wie du es wolltest. 

Bei der Bestimmung von \( u \) hast du wie in deinem letzten Post angenommen das du zwei Fälle betrachten musst. Aber \( u \) kann wieder nicht negativ werden, da \( x+1 > 0 \) für \(  x > -1 \) und die Exponentialfunktion auch nicht negativ wird. 

Du musst deine Lösung nur noch mit der ausmultiplizierten Konstante multiplizieren. 
Da du eine DGL zweiten Grades hast, benötigst du auch zwei Anfangswerte um die DGL eindeutig zu lösen. Du brauchst immer genauso viele Anfangsbedingungen wie die Ordnung der DGL ist. Du kannst dir das so vorstellen, dass durch jedes integrieren eine Integrationskonstante hinzukommt. 
Deshalb hier auch zwei Konstanten. 

Du erhälst dann also 

\( \varphi(x) = c_1 x e^x + c_2 \)

Grüße Christian