Angenommen, ich dürfte durch nicht-injektive \(t\) substituieren, seien \(a\leq b\in\mathbb R\) und \(f\colon[a,b]\to\mathbb R\) eine integrierbare Funktion. Dann substituieren wir im Integral \(\int_a^bf(x)\,dx\) mit \(t=(x-a)(x-b)\) und erhalten \(\int_0^0\ldots\,dt=0.\) Damit haben wir gezeigt, dass jedes Integral den Wert \(0\) hat, das macht das Integrieren viel einfacher :)

Werden wir wieder ernst: Wenn du dir Integration als Summation über alle Funktionswerte vorstellst, ist klar, dass bei einer nicht injektiven Substitution einige Funktionswerte "verloren" gehen, also im substituierten Integral nur einmal gezählt werden, obwohl sie für mehrere Werte im ursprünglichen Integral stehen. Das ist natürlich eine sehr informale Erklärung, aber hoffentlich nachvollziehbar. Und ja, du müsstest dann auch irgendwo durch \(0\) teilen, das könnte man in manchen Fällen aber sogar noch retten. Wenn du die Funktion, mit der du substituieren willst, in injektive Abschnitte zerstückeln kannst, kannst du dein Integral in diese Intervalle aufteilen und dann in jedem dieser Integrale substituieren. Wenn dann irgendwo \(t'=0\) ist, erhälst du ein uneigentliches Integral, aber das kann man manchmal trotzdem noch berechnen.