Man kann im Allgemeinen nicht sagen, dass punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge \( f_n\) äquivalent dazu ist, dass die Grenzfunktion unstetig ist. Bemerke, dass gleichmäßige Stetigkeit die punktweise Stetigkeit impliziert. D.h. eine Funktionenfolge \( f_n\) stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen eine Funktion \( f \) konvergiert, konvergiert auch punktweise gegen \( f\). Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz ist die Grenzfunktion \( f\) stetig.
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