Gleichmäßige/Punktweise Konvergenz

Aufrufe: 42     Aktiv: 04.02.2021 um 23:12

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Hi ich habe eine Verständnisfrage. Leider habe ich schon etwas recherchiert und leider nichts gefunden.

Kann man im allgemeinen Sagen dass Punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge `{f_n}_{nin mathbbN}` äquivalent dazu ist dass die Grenzfunktion unstetig ist? Analog zur gleichmäßigen Konvergenz mit einer stetigen Funktion als Grenzfunktion?
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Man kann im Allgemeinen nicht sagen, dass punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge \( f_n\) äquivalent dazu ist, dass die Grenzfunktion unstetig ist. Bemerke, dass gleichmäßige Stetigkeit die punktweise Stetigkeit impliziert. D.h. eine Funktionenfolge \( f_n\) stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen eine Funktion \( f \) konvergiert, konvergiert auch punktweise gegen \( f\). Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz ist die Grenzfunktion \( f\) stetig.

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