Basis eines Lösungsraums

Erste Frage Aufrufe: 460     Aktiv: 03.06.2022 um 18:52
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Hey,
folgendes Beispiel habe ich bis zum vorletzten Punkt gelöst und komme jetzt aber ich mehr weiter:

Sei f eine lin. Abb. $\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3$ mit darstellender Matrix $M$.
\begin{equation}
M:=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & -3 &6 \\
7&9&8
\end{pmatrix}
\end{equation}
Überprüfen Sie, ob $b:=(\begin{smallmatrix}2\\-3\\9 \end{smallmatrix})$ im Bild von $f$ liegt. Bestimmen Sie außerdem den Rang von $f$ und die Dimension des Kerns.
Bis hier hin hab ich alles gelöst. Folgendes verstehe ich aber nicht mehr:
Bestimmen Sie zudem die Basis des Lösungsraums $f^{-1}(b)$.

Ist $f^{-1}$ als die inverse Funktion zu interpretieren und was sagt mir das dann? Und wie gehe ich bei $f^{-1}(b)$ mit dem $b$ um? Das ist ja einfach der vorhin definierte Vektor, aber was soll ich mit dem machen?
Ich hoffe, ich hab alles verständlich erklärt :)
Danke!
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1 Antwort
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Das mit dem $f^{-1}$ ist eine (leider) nicht eindeutige Schreibweise, die bei Anfängern oft für Verwirrung sorgt.
Hier geht aber aus dem Text "Basis des Lösungsraums" hervor, was gemeint ist. Um zu bestimmen, ob $b$ im Bild liegt, löst (Achtung: "löst"!) Du das LGS $f(x)=Mx=b$. Die Lösungsmenge ist ein Raum, daher auch "Lösungsraum".
$f^{-1}(A):=\{x | f(x)\in A\}$ wobei $A$ eine Menge ist, also die Menge der Urbilder zur Bildmenge $A$, hier also $A=\{b\}$.
Ergänzung (nach Ergänzung von mathejean): Dieser Raum ist allerdings kein Vektorraum (kein Unterraum), sondern ein affiner Raum. Diese haben keine Basis im üblichen Sinne. Insofern ist die Aufgabenstellung hier unklar, und u.U., je nachdem wie "Basis" definiert wurde, unsinnig. Siehe die Kommentare von mathejean unten.
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Noch als Ergänzung, die hoffentlich verdeutlicht, dass man alles aufeinmal lösen kann: es ist \(f^{-1}(b)=\hat{x}+\ker f\), wobei \(f(\hat{x})=b\)   ─   mathejean 03.06.2022 um 12:29
Vielen Dank! Heißt das also, dass die Basis des Lösungsraums $f^{-1}(b)$ gleich $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$ ist?   ─   yoshi 03.06.2022 um 14:14
Wie habt ihr den Basen für affine Räume definiert (Lösungsräume sind im allgemeinen keine Vektorräume) und es gibt auch nicht DIE Basis sondern EINE Basis   ─   mathejean 03.06.2022 um 14:53
Ja das stimmt! Ich meinte eher die eine Basis: $\{\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}\}$   ─   yoshi 03.06.2022 um 15:01
Okay, das beantwortet zwar nicht was du unter einer Basis eines Lösungsraums verstehst, aber so wie ich sehe egal, weil die Matrix eindeutig lösbar sein sollte, was hast du denn als Rang heraus?   ─   mathejean 03.06.2022 um 15:24

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