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Das mit dem $f^{-1}$ ist eine (leider) nicht eindeutige Schreibweise, die bei Anfängern oft für Verwirrung sorgt.
Hier geht aber aus dem Text "Basis des Lösungsraums" hervor, was gemeint ist. Um zu bestimmen, ob $b$ im Bild liegt, löst (Achtung: "löst"!) Du das LGS $f(x)=Mx=b$. Die Lösungsmenge ist ein Raum, daher auch "Lösungsraum".
$f^{-1}(A):=\{x | f(x)\in A\}$ wobei $A$ eine Menge ist, also die Menge der Urbilder zur Bildmenge $A$, hier also $A=\{b\}$.
Ergänzung (nach Ergänzung von mathejean): Dieser Raum ist allerdings kein Vektorraum (kein Unterraum), sondern ein affiner Raum. Diese haben keine Basis im üblichen Sinne. Insofern ist die Aufgabenstellung hier unklar, und u.U., je nachdem wie "Basis" definiert wurde, unsinnig. Siehe die Kommentare von mathejean unten.
Hier geht aber aus dem Text "Basis des Lösungsraums" hervor, was gemeint ist. Um zu bestimmen, ob $b$ im Bild liegt, löst (Achtung: "löst"!) Du das LGS $f(x)=Mx=b$. Die Lösungsmenge ist ein Raum, daher auch "Lösungsraum".
$f^{-1}(A):=\{x | f(x)\in A\}$ wobei $A$ eine Menge ist, also die Menge der Urbilder zur Bildmenge $A$, hier also $A=\{b\}$.
Ergänzung (nach Ergänzung von mathejean): Dieser Raum ist allerdings kein Vektorraum (kein Unterraum), sondern ein affiner Raum. Diese haben keine Basis im üblichen Sinne. Insofern ist die Aufgabenstellung hier unklar, und u.U., je nachdem wie "Basis" definiert wurde, unsinnig. Siehe die Kommentare von mathejean unten.
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mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 38.93K
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Noch als Ergänzung, die hoffentlich verdeutlicht, dass man alles aufeinmal lösen kann: es ist \(f^{-1}(b)=\hat{x}+\ker f\), wobei \(f(\hat{x})=b\)
─
mathejean
03.06.2022 um 12:29
Vielen Dank! Heißt das also, dass die Basis des Lösungsraums $f^{-1}(b)$ gleich $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$ ist?
─
yoshi
03.06.2022 um 14:14
Wie habt ihr den Basen für affine Räume definiert (Lösungsräume sind im allgemeinen keine Vektorräume) und es gibt auch nicht DIE Basis sondern EINE Basis
─
mathejean
03.06.2022 um 14:53
Ja das stimmt! Ich meinte eher die eine Basis: $\{\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}\}$
─
yoshi
03.06.2022 um 15:01
Okay, das beantwortet zwar nicht was du unter einer Basis eines Lösungsraums verstehst, aber so wie ich sehe egal, weil die Matrix eindeutig lösbar sein sollte, was hast du denn als Rang heraus?
─
mathejean
03.06.2022 um 15:24
Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden.
Mikn wurde bereits informiert.