Wie beweist man eine Folge mit lim n→∞ an = inf A?

Erste Frage Aufrufe: 94     Aktiv: 04.12.2022 um 09:14
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Angabe: Es sei A ⊂ R eine nach unten beschränkte Menge. Zeigen Sie, dass es eine Folge (an)n∈N von Elementen in A gibt mit lim n→∞ an = inf A.

Hat jemand eine Idee wie man hier auf die Lösung kommt? Wir kommen nicht weiter ... vielen Dank im Voraus!!

Hilft das eventuell?
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Student, Punkte: 26

 
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1 Antwort
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Wir müssen annehmen \(A \not = \emptyset \), sonst es ist falsch. Nach Voraussetzung Wir haben \(m:= \inf(A) > -\infty \).  Also existiert nach Definition von Infimum zu \(n \in \mathbb{N}\) ein \(a_n \in A\) mit \(a_n-m < \frac{1}{n}\). Da hast du meine Folge, schaffst du Konvergenz?
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Student, Punkte: 10.33K

 
Hast Du noch einen Tipp für mich? Ich weiß gerade nicht so ganz was ich damit anfangen soll. Danke schonmal!   ─   ai-student 04.12.2022 um 00:04
Okay weil Infimum wir haben \(|a_n-m|=a_n-m <\frac 1n\). Sei nun \(\varepsilon >0\). Nach dem archimedischen Axiom es gibt \(n_0 \in \mathbb{N}\) mit \(n_0\varepsilon >1\), schaffst du es jetzt?   ─   mathejean 04.12.2022 um 09:14

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