Rang des Kerns mit Parameter -> Dimensionsatz?

Aufrufe: 116     Aktiv: 4 Monate, 2 Wochen her

0

Hallo :)

Ich habe eine lineare Abbildung von L : \( \Bbb{R}^{3} \to \Bbb{R}^{2} \) mit

L( \( \overrightarrow{a_1}) \) = (2, -1) ,

L( \( \overrightarrow{a_2}) \) = (0, -1) 

L( \( \overrightarrow{a_1}) \) = (3, 4) 

und möchte den Kern bestimmen.

Dazu habe ich \( \textbf{A} \overrightarrow{x}  = \overrightarrow{b} \) gesetzt und die erweiterte matrix als LGS geschrieben als

I. 2  0  3  |  0

II. -1  -1  4  |  0

III. 0  0  0  |  0

und bekome nach umformen von II = 2 \( \cdot \) II + I

I.  2  0  3  |  0

II.  0  -2  11  |  0

III.  0  0  0  |  0

Wegen der Nullzeile setze ich \( x_3 \) = t und löse nach \( x_1 \) und \( x_2 \) auf.

Demnach ist der Kern von L : t \( \cdot \) (-1.5 , 5.5 , 1). 

Jetzt ist meine Frage, was die Dimension des Kerns von L ist ? Der Kern ist ja durch ein Parameter t unendlich groß, bedeutet das, dass hier der Dimensionssatz nicht greift?

 

LG

gefragt 4 Monate, 2 Wochen her
m0xpl0x
Student, Punkte: 22

 
Kommentar schreiben Diese Frage melden
1 Antwort
1

Ich nehme an, du meinst oben \(L(\vec a_3)=(3,4)\).

Der Kern ist nicht parameterabhängig, er ist \( kern(A) =\{ t\,(-1.5, 5.5, 1) \mid t\in R\} = span \,(-1.5, 5.5, 1)\),

wird also von einem Vektor aufgespannt, hat also die Dimension 1.

Der Dimensionssatz gilt wie immer: \(\dim kern +\dim Bild = \dim V\), \(1+2=3\).

Wenn der Kern nicht nur aus dem Nullvektor besteht, hat er immer unendlich viele Elemente.

geantwortet 4 Monate, 2 Wochen her
mikn
Lehrer/Professor, Punkte: 10.14K
 

Ah okay danke :)   ─   m0xpl0x 4 Monate, 2 Wochen her
Kommentar schreiben Diese Antwort melden