Kompaktheit einer Menge zeigen

Aufrufe: 242     Aktiv: 20.07.2022 um 14:49
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Hallo ihr Lieben,
ich habe hier diese Menge $$ M:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+y z+y^{2}=1\right\} $$
und würde gerne zeigen, dass $M$ kompakt ist. Da $M \subset \mathbb{R}^3$ ist, genügt es zu zeigen, dass $M$ abgeschlossen und beschränkt ist.

Für die Beschränkt heit würde ich gerne zeigen, dass $M$ eine Teilmenge eines Quaders ist, aber ich kann mit dieser Schreibweise der Menge $M$ nicht wirklich was anfangen. Konkret: Ich kann aus dem Term $x^{2}+y^{2}+y z+y^{2}=1$ nicht wirklich folgenern, wie lang z.B. die Kanten eines solchen Quadars seinen müssten.

Zur Abgeschlossenheit müsste ich zeigen, dass das Komplement offen ist, aber aus 
$$ M^c:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+y z+y^{2} \neq 1\right\} $$
werde ich jetzt auch nicht unbedingt schlauer. Kann mir da jemand beim Vorgehen behilflich sein?

LG
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Punkte: 18

 
Sollte das letzte \( y \) nicht vielleicht ein \( z \) sein? Denn ansonsten wäre das Tupel \( (1,n,-2n) \) immer in \( M \) und die Menge somit nicht beschränkt.   ─   42 20.07.2022 um 14:26
Well, sollte sollte Fahrradkette. In der Übungsaufgabe steht nen $y^2$, aber ich denke mal ein $z^2$ könnte da durchaus gemeint sein. Das erklärt jetzt natürlich ein wenig mehr   ─   hakn 20.07.2022 um 14:46
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Für \( y^2 + yz + z^2 \) kann man dann auch \( (y+\frac{z}{2})^2 + \frac{3z^2}{4} \) schreiben. Damit solltest du dann die gewünschte Beschränktheit herleiten können.   ─   42 20.07.2022 um 14:48
Ist wahrscheinlich ein Druckfehler   ─   42 20.07.2022 um 14:49
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1 Antwort
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Abgeschlossenheit geht viel leichter in dem du sagst linke Seite ist stetig und Urbilder abgeschlossen Mengen abgeschlossen. Für Beschränktheit kannst du ja mal Menge zeichnen (am besten mit eine Computer)
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Student, Punkte: 10.39K

 
Ich verstehe nicht ganz, wie mir das mit den Urbildern weiterhilft. Ist f stetig, so sind Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen. Von was soll denn $M$ jetzt ein Urbild sein?

Das mit der Beschränktheit hatte ich in Geogebra versucht, der plottet aber nicht mehr als 2 Variablen, kannst du einen anderen Plotter empfehlen? Generell geht es mir mehr ums Vorgehen, als um die Lösung. Mache das gerade als Klausurvorbereitung und da würde ich gerne auf Hilfsmittel verzichten.   ─   hakn 19.07.2022 um 19:59
Irgendwie habe ich auf Kommentar löschen geklickt: was ich geschrieben habe ist, dass wenn linke Seite wir \(f\) nennen, dann ist \(M=f^{-1}(\{1\})\)   ─   mathejean 19.07.2022 um 21:11
Ah danke mathejean, ergibt Sinn. Habe mir den Körper jetzt mal gezeichnet: https://www.geogebra.org/3d/ps25xa5p An der Zeichnung sieht man ganz gut, dass das Ganze beschränkt ist. Das ist soweit ja ganz schön. In der Klausur kann ich mir das aber leider nicht zeichnen lassen.

Eine Idee wäre was in diese Richtung:
Seien $a:= \sup \{d(x, x´) | x,x´ \in M\}$, $b:= \sup \{d(y, y´) | y,y´ \in M\}$ und $c:= \sup \{d(z, z´) | z,z´ \in M\}$. Dann bilden $a,b,c$ die Kanten des Quadars. Das Problem an der Überlegung ist halt, dass stetige Funktionen auf kompakten Mengen Minimum und Maximum annehmen. Da ich bis jetzt nur die Abgeschlossenheit habe, wird der Satz, denke ich mal, nicht anwendbar sein.   ─   hakn 20.07.2022 um 09:40
Ich glaube hier ist Notationsproblem, so wie du schreibst ist \(a=b=c\). Aber damit kann man auch Arbeiten. Das Supremum aller Abstände in der Menge nennt man Diameter. Ist dieser kleiner unendlich so ist die Menge beschränkt.   ─   mathejean 20.07.2022 um 09:51

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