Ableitung implizite Funktion

Aufrufe: 48     Aktiv: 02.07.2021 um 13:56

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Es sei f : R3 → R2 definiert durch f (x, y, z) := (x 2 + yz − 2,  x 2 + z 2 − y 2 − 1) .
(a) Zeigen Sie, dass f (x, y, z) = 0 in einer Umgebung von (1, 1, 1) nach ( y, z) auflösbar ist.
(b) Berechnen Sie die Ableitung der durch f (x, y, z) = 0 in einer Umgebung von x = 1 implizit definierten Funktion g(x) = ( y(x), z(x)).
(c) Berechnen Sie das Taylorpolynom T1 g(x, x0 ) ersten Grades von g im Punkt x0 = 1. 

Ich habe die (a) (denke ich) erfolgreich gezeigt, jedoch verstehe ich nicht ganz genau was ich bei der (b) mit der Funktion g(x) = ( y(x), z(x)). anfangen soll.
Könnte mir jemand helfen?
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\(g\) ist die Funktion, deren Existenz in a) gezeigt worden ist. Es geht ja um die Darstellung
\(0=f(x,g(x))=f(x,g_1(x),g_2(x))=f(x,y(x),z(x))\). Um die Ableitungen von \(g_1(x), g_2(x)\) zu bestimmen, kann man einfach die Gleichung \(f(x,g_1(x),g_2(x))\) ableiten, den Punkt einsetzen, um den es geht, und nach \(g_1'(x_0)\) und \(g_2'(x_0)\) umstellen (Lösung eines LGS).
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Oh man.. Vielen lieben Dank. Manchmal steh ich echt etwas auf dem Schlauch
  ─   userd43151 02.07.2021 um 12:08

Könnte ich dich nochmal was fragen?

ich habe das jetzt abgeleitet und die Matrix (2 z y, 2 -2y 2z) raus. Kann das überhaupt stimmen?
Bei der (a) hatte ich die Matrix (z y, -2y 2z) dort dann den Punkt eingesetzt und gezeigt das es invertierbar ist.

  ─   userd43151 02.07.2021 um 12:41

a) ist richtig. Deine Matrix zu b) ist 2x3, wir suchen die Ableitungen y',z'. Wenn man das umschreibt in diesen Unbekannten, erhält man \(A(y' z')^T= (-2x -2x)^T\) mit A 2x2 und zwar genau dasselbe wie in a) - das muss auch so sein.   ─   mikn 02.07.2021 um 13:11

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