Notwendige Bedingung für optimalen Radius

Aufrufe: 230     Aktiv: 22.09.2023 um 02:24

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Folgende Aufgabe:

Bei der Herstellung zylindrischer Dosen muss wegen der notwendigen Schweißnaht der Radius des Deckel- und Bodenblechs 6 mm größer als der Innenradius der Dose sein. Für die Schweißnaht längs der Mantellinie ist eine Zugabe nötig. Aus Gründen der Stabilität sind Boden, Deckel und Mantel mit Wellen versehen. Das Blech für den Mantel muss daher etwa 2% höher sein als die Dosenhöhe h. Für Deckel und Boden kann der Materialverbrauch für die Wellen vernachlässigt werden.

Leite aus der Gleichung 0(r)=2πr² + 2,4πr + 0,72π + 2,04 V/r für das Volumen V=850 ml die folgende Bedingung für den optimalen Radius her (Rechnung in cm, cm² , cm³ gerundet) her und bestimme damit die Maße der optimalen Dose: 

r³ + 0,6r² -137,987 = 0


Schonmal Vielen Dank für die Hilfe
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1 Antwort
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Notwendige Bedingung für das Optimum ist ja: \(O'(r)=0\).
Also musst Du nur das O aus der Aufgabenstellung ableiten und dann 0 setzen.
Das ist schon die notwendige Bedingung.
Die wird allerdings ein bisschen anders aussehen als das, was rauskommen soll, nämlich \(r^3-0,6r^2-137,987 =0\)
Das V, dass da noch vorkommt, ist ja gegeben.
Dabei bitte beachten: 1 ml = 1 \(\mbox{cm}^3 \).
Und dann muss man die Gleichung noch geeignet umformen, so dass das Gewünschte herauskommt.

Was ich allerdings nicht weiß ist, wie Ihr diese Gleichung lösen sollt.
Das ist nämlich eine kubische Gleichung, die ist ein wenig störrisch.
Habt Ihr dafür Vorgabe, oder irgendwelche Tools, oder irgendwelche Formeln?
Zur Not geht auch Excel.
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Wir dürfen für diese Aufgabe einen GTR Rechner benutzen. Danke für die Hilfe!   ─   usere4ced0 19.09.2023 um 19:33

Könntest du mir vielleicht die Rechenschritte zur Umformung der Gleichung geben? Bin mir da unsicher   ─   usere4ced0 20.09.2023 um 18:17

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Also: Ableiten von O(r) nach r ergibt: \( \displaystyle O'(r) = 4\pi r + 2,4\pi -\frac{2,04 V}{r^2} \)
Das soll 0 sein: \( \displaystyle 4\pi r + 2,4\pi -\frac{2,04 V}{r^2} =0\).

Hier ist die höchste Potenz "r", bei der Gleichung, die rauskommen soll, ist die höchste Potenz \(r^3\). Um von r auf \(r^3\) zu kommen, multipliziert man obige Gleichung mit \(r^2\). Das ergibt:

\( 4\pi r^3 + 2,4\pi r^2 -2,04 V=0\)

Bei dieser Gleichung stört nun noch ein \( 4\pi\) vor dem \( r^3\). Das eliminiert man, indem man die obige Gleichung durch \(4\pi\) teilt:

\( \displaystyle r^3 + 0,6 r^2 - \frac{2,04}{4\pi} V=0\)

Nun noch \( \displaystyle\frac{2,04}{4\pi} V \) ausrechnen.

  ─   m.simon.539 20.09.2023 um 18:33


"Bei dieser Gleichung stört nun noch ein 4 π vor dem r 3 . Das eliminiert man, indem man die obige Gleichung durch 4 π teilt:"
Wie genau bist du da auf dein Ergebnis gekommen? Egal wie ich es versuche, da kommt irgendein Quatsch raus.
  ─   usere4ced0 20.09.2023 um 19:25

Sorry, da war ein Fehler in meiner Formel. Der ist jetzt korrigiert. Passt es jetzt?   ─   m.simon.539 22.09.2023 um 02:21

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