Da du zwar schon das Ergebnis verraten bekommen hast die Frage aber noch nicht abgehakt hast, hoffe ich das du nicht nur auf die Lösung aus bist. Daher hier nun mein Tipp. Stelle zunächst wie folgt um:
\[\sin(2x)+\cos(2x)=1=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} \sin(2x)+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cos(2x)\right)=1\]
Überlege für welche $x\in [0,\frac{\pi}{2}]$ die Funktionen $\sin(x)$ und $\cos(x)$ jeweils den Wert $\frac{1}{\sqrt{2}}$ annehmen. Dann verwende das Additionstheorem für $\sin(x+y)=\ldots$. Was erhälst du und wie löst man die erhaltene Gleichung?

Wenn du das richtig machst ist der Rest einfach, versuche es einmal!

Ich bin mir unsicher ob du \(sin^2(x) + cos^2(x) = 1\) oder \(sin(2x) + cos(2x)\) meinst.

Für ersteres empfehle ich ein rudimentäres Tutorial zu der trigonometrischen Identität. Für letzteres hätte ich hier deine Lösung:

\(x = \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in  \mathbb{N}\)

Falls Nachfragen bestehen, gehe ich gerne detailierter darauf ein - aber ohne zu wissen welches der beiden Ergebnisse du suchst, ist das tippen des Rechenweges zu aufwendig.