Independent continuous random variables

Aufrufe: 576     Aktiv: 13.08.2020 um 17:07
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Hallo zusammen,

Ich verstehe nich, wie man solche Aufgaben löst. Gibt es hierzu gute Videos oder könnt ihr mir dies erklären?

Give expressions for the density functions of the maximum Z = max(X, Y ) and the minimum

˜ Z = min(X, Y ) of two independent continuous random variables X and Y .

 

Liebe Grüsse

Sayuri

 

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Der Trick besteht meistens darin erst die Verteilungsfunktion auszurechnen und diese anschließend abzuleiten. In dem Fall kann man folgendes wegen der Unabhängigkeit von X und Y schreiben

\(F_Z(z)=P(Z\leq z)=P(max(X,Y)\leq z)=P(\lbrace X\leq z\rbrace \cap\lbrace Y\leq z\rbrace)\\=P(X\leq z)P(Y\leq z)=F_X(z)F_Y(z)\)

wobei \(F_X,F_Y\) die Verteilungsfunktionen sind. Die Dichte von \(max(X,Y)\) erhält man jetzt indem man die Verteilungsfunktion nach \(z\) ableitet. Ab hier kannst du denke ich selber weitermachen. 

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Woow danke! Also muss man bei solchen Aufgaben immer die Verteilungsfunktion herausfinden und anschliessend nach einer Variable ableiten?   ─   sayuri 13.08.2020 um 16:59
Jawoll. Halt nach der Variablen in der Verteilungsfunktion ableiten. In dem Fall habe ich die \(a\) genannt.   ─   benesalva 13.08.2020 um 17:04
Da die Zufallsvariable \(Z\) heißt würde es sich vielleicht eher anbieten statt \(a\) ein \(z\) zu verwenden.   ─   benesalva 13.08.2020 um 17:05
Super, vielen herzlichen Dank!   ─   sayuri 13.08.2020 um 17:06

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