Zeige, dass diese diophantische Gleichung eine ganzzahlige Lösung hat

Erste Frage Aufrufe: 24     Aktiv: 17.02.2021 um 12:05

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Aufgabe:

Betrachten Sie die diophantische Gleichung 1337 x + 5 y = 69. Hat diese Gleichung eine ganzzahlige Lösung? Begründen Sie Ihre Antwort!

Betrachten Sie die diophantische Gleichung 963 x + 3 y = 5. Hat diese Gleichung eine ganzzahlige Lösung? Begründen Sie Ihre Antwort!


Problem/Ansatz:

Wie löse ich das? Habs mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus versucht aber das macht ja nur bei ax+by=0 Sinn... dann hab ich es so versucht:

1337 x + 5 y = 69 (mod 1337)

5y = 69 -> Keine Ganzzahlige Lösung??

 

Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen :)

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1 Antwort
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Nach dem erweiterten euklidischen Algorithmus/dem Lemma von Bezout hat eine diophantische Gleichung der Form \(ax+by=c\) genau dann eine Lösung, wenn \(c\) ein Vielfaches von \(ggT(a,b)\) ist:
Gilt \(ggT(a,b)\ |\ c\), dan gibt es \(x,y\in\mathbb Z\), sodass \(xa+by=ggT(a,b)\) und Erweitern mit \(\frac c{ggT(a,b)}\) liefert eine Lösung.
Gilt \(ggT(a,b)\nmid c\), dann liefert die Betrachtung der Gleichung modulo \(ggT(a,b)\) einen Widerspruch.
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Danke! Du schreibst "genau dann eine Lösung", wird dabei beachtet, dass die Lösung auch ganzzahlig ist? LG!   ─   mathefragernn 17.02.2021 um 12:05

Ja, ich meinte ganzzahlige Lösungen.   ─   stal 17.02.2021 um 12:05

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