Verständnisfrage zur Umformung einer doppelten Bruchgleichung (Analysis)

Erste Frage Aufrufe: 550     Aktiv: 18.09.2021 um 16:34
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Hallo,

ich bräuchte eure Hilfe um zu verstehen, wie mein Prof von einer Gleichung zur umgeformten Gleichung gekommen ist. Mir sind die Umleitungsschritte nicht ganz klar.

Folgende Gleichung:
\( \frac{\frac{\left(n+1\right)^2 }{3^{n+1}}}{\frac{n^2}{3^n}} \)

Wurde umgeformt zu:
\( \frac{1}{3} \times (1+\frac{1}{n})^2 \)

Kann mir da jemand helfen und zeigen, welche Schritte durchgeführt worden sind?

Ich persönlich habe den mittleren Bruch umgeformt zu einer Multiplikation und dann gekürzt bzw die Bruchgleichung berechnet. Ich komme aber zu einer Term voller n-Variablen und nicht zu dem Term von meinem Prof.
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1 Antwort
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Wir können ja mal anfangen, indem wir den Doppelbruch auflösen (mit dem Kehrwert multiplizieren)
\( \frac{(n+1)^2}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n^2}\)
Wie machst du weiter?
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\( \frac{\left(n+1\right)^2 }{3^{n+1}}* \frac{3^n}{n^2} \)
Hier habe ich den Bruch so umgeformt, dass der zweite Bruch mit auf dem ersten steht, also:
\( \frac{ \left(n+1\right)^2 * 3^n}{3^{n+1}* n^2} \)
Nun hätte ich die \( 3^n \) wegekürzt und folgenden Term erhalten:
\( \frac{ \left(n+1\right)^2}{3^{1}* n^2} \)
Als nächstes hätte ich den oberen bruch ausmultipliziert und das \(n^2 \) weggekürzt und wäre bei folgendem Term:
\( \frac{1+\frac{2n}{n^2}+ \frac{1}{n^2} }{3} \)

Okay, dividiert durch 3 ist das selbe wie multipliziert wie 1/3. Ab hier stehe ich aber auf dem Schlauch und weiß nicht wie ich zu der Umformung meines Professors (weiter) hinkomme.   ─   mathe_novize 18.09.2021 um 16:03
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Vorletzte Zeile, Binom stehen lassen und das $1/ n^2 $ mit in die Klammer nehmen, dort wird daraus ein n   ─   monimust 18.09.2021 um 16:14
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Passt soweit alles bis auf den letzten Schritt. Du hast doch dann \( \frac{1}{3} \cdot \frac{(n+1)^2}{n^2} \) im vorletzten Schritt stehen. Ich habe die \(3^1\) unten aus dem Nenner nur einfach davor geschrieben. Manchmal muss man Klammern ausmultiplizieren mit den binomischen Formeln, wie du das dann gemacht hast. Aber wenn man eigentlich Faktorisieren will, macht man das besser nicht. Benutze stattdessen das Potenzgesetz \( (\frac{a}{b})^2 = \frac{a2}{b^2} \) doch mal rückwärts.   ─   lernspass 18.09.2021 um 16:14
Mist, daran habe ich nicht gedacht, dass ich das \( 3^1 \) an der Stelle hätte rausziehen müssen.
Die weiteren Schritte würden ja wie folgt aussehen:
\( \frac{1}{3} * \frac{(n+1)^2}{n^2} <=> \frac{1}{3} * (\frac{n+1}{n})^2 <=> \frac{1}{3} * (1+\frac{1}{n} ) \)
(Da gleiche Potenz im Zähler und Nenner das einfach umgeformt, und dann durch n geteilt.)
Vielen Dank!   ─   mathe_novize 18.09.2021 um 16:29
Bitte, gerne :)   ─   lernspass 18.09.2021 um 16:34

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