Ja, es ist so wie du vermutest.

Wir betrachten eine Linearkombination \( \sum_{i=1}^n \lambda_i f(e_i) = 0 \). Aus der Linearität von \( f \) folgt dann \( f \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i \right) = 0 = f(0) \). Wenn \( f \) nun injektiv ist, dann muss somit \( \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i = 0 \) sein. Und da die \( e_i \) eine Basis bilden, ergibt sich schließlich \( \lambda_i=0 \) für alle \( i \).

Sei nun \( y \in V \) beliebig. Wenn nun \( f \) surjektiv ist, dann gibt es ein \( x \in K^n \) mit \( f(x)=y \). Da die \( e_i \) eine Basis von \( K^n \) bilden, können wir \( x = \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i \) schreiben für geeignete \( \lambda_i \) und erhalten somit \( \sum_{i=1}^n \lambda_i f(e_i) \) \( = f \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i \right) \) \( = f(x) \) \( = y \). D.h. \( y \) lässt sich als Linearkombination der \( f(e_i) \) schreiben. Da \( y \in V \) beliebig war, erzeugen die \( f(e_i) \) somit schon ganz \( V \).