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Hallo liebe Community,

ich bräuchte Hilfe bei obenstehender Aufgabe. Nach meinem Wissen/Aufzeichnungen war es glaube ich so, dass Injektivität in diesem Fall bedeutet, dass das System linear unabhängig ist und Surjektivitätm dass das System ein Erzeugendensystem von V ist. Nun würde ich jedoch einerseits gerne wissen, ob dies wirklich so war und andererseits, also falls es so ist, warum dies so ist.

Ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen.

LG
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Ja, es ist so wie du vermutest.

Wir betrachten eine Linearkombination \( \sum_{i=1}^n \lambda_i f(e_i) = 0 \). Aus der Linearität von \( f \) folgt dann \( f \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i \right) = 0 = f(0) \). Wenn \( f \) nun injektiv ist, dann muss somit \( \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i = 0 \) sein. Und da die \( e_i \) eine Basis bilden, ergibt sich schließlich \( \lambda_i=0 \) für alle \( i \).

Sei nun \( y \in V \) beliebig. Wenn nun \( f \) surjektiv ist, dann gibt es ein \( x \in K^n \) mit \( f(x)=y \). Da die \( e_i \) eine Basis von \( K^n \) bilden, können wir \( x = \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i \) schreiben für geeignete \( \lambda_i \) und erhalten somit \( \sum_{i=1}^n \lambda_i f(e_i) \) \( = f \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i e_i \right) \) \( = f(x) \) \( = y \). D.h. \( y \) lässt sich als Linearkombination der \( f(e_i) \) schreiben. Da \( y \in V \) beliebig war, erzeugen die \( f(e_i) \) somit schon ganz \( V \).
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