Bestimmen von minimum und maximum

Aufrufe: 154     Aktiv: 20.08.2021 um 14:09

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Es geht um folgende Aufgabe:  die funktion f(x) =(1+x)Wurzel aus 1-x^2 . Es ist das Minimum und Maximum zu bestimmen. Ich komme hie mit der Ableitung nicht klar. Damit keine Missverständnisse entstehen. Der Bereich der Wurzel ist 1-x^2.

Wer kann mir hier weiterhelfen.
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Ich habe noch vergessen, das es bei der Funktion um das Interval (-1,1) geht. Definiert in den reellen Zahlen   ─   atideva 16.08.2021 um 18:00
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3 Antworten
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Du brauchst hier die Produkt- und Kettenregel. Wenn du schon eine Rechnung hast, lade sie bitte hoch.
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Im Nachhinein ist von meiner Seite noch zu sagen, daß ich,da ich aktuell noch wenig Erfahrung mit der Kettenregel habe zwar jetzt die innere Funktion habe . Bei der äußeren Funktion ist mir z. B. klar, daß ✓(1-x^2) dasselbe ist wie (1-x^2)^1/2. Aber die äußere Funktion lautet ja 1/2(1-x^2)^-1/2. Daß ist mir nicht so ganz klar. Und dann geht's ja auch noch darum, die Produktregel anzuwenden und dann kommt der Bruch dazu. Vielleicht kann ich da noch etwas Unterstützung bekommen.   ─   atideva 19.08.2021 um 13:44

Es ist $f(x)=(1+x)\sqrt{1-x^2}$. Für die Produktregel zerlegen wir das erstmal in die Funktionen $u(x)=1+x$ und $v(x)=\sqrt{1-x^2}$. Die Produktregel ist ja $f'(x)=u'(x)v(x) + v'(x)u(x)$. Also kümmern wir uns nun um die Ableitungen von $u$ und $v$. Für die Funktion $u$ solltest du das hinbekommen, bei $v$ brauchst du die Kettenregel.

Es ist $v(x)=\sqrt{1-x^2}$, was eine Verkettung darstellt. Die innere Funktion ist $g(x)=1-x^2$ und die äußere Funktion ist nur (!) $h(x)=\sqrt{x}$. Damit gilt nämlich dann $v(x)=h(g(x))$, also "$g$ steckt in $h$", was ja die Wurzel ist. Nachvollziehbar? Und darauf wendest du jetzt die Kettenregel an: $v'(x)=g'(x)h'(g(x))$, innere Ableitung mal äußere Ableitung. Wenn du die Ableitung der Wurzel nicht kennst, schreibe $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ und verwende die normale Potenzregel zum Ableiten.

Ich hoffe, du kommst damit weiter. :)
  ─   cauchy 19.08.2021 um 22:26

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Für den Anfänger ist es besser, sich die Kettenregel als "äußere Abl. mal innere" zu merken. Das merkt man, wenn man mal versucht eine Verkettung mit drei Funktionen abzuleiten.   ─   mikn 20.08.2021 um 14:09

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Schreibe
$(x+1)\sqrt{1-x^2}$   um in
$(x+1)(1-x^2)^\frac{1}{2}$
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Ich komme noch nicht klar damit.   ─   atideva 16.08.2021 um 21:09

Wo liegt denn dein konkretes Problem? Weißt du nicht, wie man Ketten- und Produktregel benutzt?   ─   cauchy 16.08.2021 um 21:17

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\(f(x)=\sqrt{g(x)}=\sqrt{(1-x)^2(1-x^2)}=\sqrt{1+2x-2x^3-x^4}\Rightarrow f'(x)=\frac{g(x)'}{2\sqrt{1+2x-2x^3-x^4}}\)
Zur Extremierung \(g'(x)\) bestimmen usw.
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Hätten Sie die Kommentare gelesen, wüssten Sie, dass der Fragesteller mit der Produkt- und Kettenregel noch nicht so vertraut ist und damit Schwierigkeiten hat. Jetzt kommen Sie mal wieder daher und liefern mit einem völlig anderen Ansatz nur noch zusätzliche Verwirrung...

Außerdem ist Ihre Funktion falsch.
  ─   cauchy 20.08.2021 um 13:56

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