Wie stelle ich die Funktion des begrenzten Wachstum, aus dieser Aufgabe, auf?

Erste Frage Aufrufe: 570     Aktiv: 21.09.2020 um 12:55

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Ich brauche kurz hilfe.

Ich habe eine Sachaufgabe( das ist meine eigene), die so lautet: 

In einer Großstadt leben 5 Millionen Menschen. Die Stadt wächst jährlich um 15%. Wegen Platzmangel können nur 40 Millionen Menschen diese Stadt beheimaten.

(Ich weiß etwas unrealistisch)

Ich soll die dazugehörige Funktion aufstellen. 

Das Problem ist, ich weiß nicht was ich in die Wachstumkonstante einfügen soll.

Die Formel für ein begrenztes Wachstum lautet ja so:

f(x)= S-(S-f(0))*e^(-k*x)

Meine zwei Lösungen lauten so:

(1) f(x)=40-(40-5)*e^(-0,15*x)

(2) f(x)= 40-(40-5)*e^(-1,397*x)

Bei (1) habe ich einfach nur 15% (als Dezimalzahl) eingesetzt.

In (2) habe ich ln(1,15) genommen, weil wir im Unterreicht hatten, wenn man eine Exponentialfunktion (f(x)=a*b^x) in eine e- Funktion umändern will, muss man den Wachstumsfaktor (b) ln() nehmen. Also wäre die Wachstumskonstante so: ln(b). Ist jetzt eins oder zwei richtig?

 

Danke schon im vorraus.

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Hallo,

deine Sachaufgabe passt leider nicht zu 100% zu einem begrenzten Wachstum. Wenn deine Bevölkerung jedes Jahr um 15% wächst, dann interessiert das Wachstum ja nicht dass in die Stadt nicht mehr Einwohner passen. Ich würde hier eher sagen, dass die Stadt im ersten Jahr um 15% steigt. 

In der Formel für das begrenzte Wachstum steht der Faktor \( e^{-kt} \) für ein immer kleiner werdenen Anstieg. Denn nur wenn der Anstieg kleiner wird, kann das Wachstum irgendwann aufhören. 

Wenn du ein begrenztes Wachstum haben willst, und im ersten Jahr steigt die Bevölkerung um 15%, dann musst du dafür eine Gleichung lösen.

$$ f(x) = 40 -( 40-5) e^{-kt} $$

Wir wollen \( k \) bestimmen. Wenn die Bevölkerung im ersten Jahr 5 Millionen beträgt, wie groß ist die Bevölkerung dann nach einem Jahr? Setze dann \( t=1 \) und die Bevölkerungsanzahl für \( f(1) \). Daraus lässt sich dann \( k \) bestimmen. 

Wenn du wirklich jedes Jahr einen Anstieg von 15% haben willst, dann brauchst du eine andere Funktionsgleichung

$$ f(x) = 5 \cdot 1{,}15^t $$

Jetzt wird mit jedem Jahr die Bevölkerung um 15% angehoben. Aber es ist hier eben keine Beschränkung mehr vorhanden. Du kannst jetzt aber berechnen, wann die Bevölkerung nicht mehr in die Stadt passt.

Grüße Christian

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