Rang einer Vandermonde-Matrix

Aufrufe: 106     Aktiv: vor 5 Tagen, 9 Stunden

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Ich stecke bei folgender Aufgabe fest.

Zu bestimmen ist der Rang einer Vandermonde-Matrix (s. Bild) für
a) n = 3
b) n allgemein

Ich finde dazu nur Informationen, welche die Determinante beinhalten, welche wir aber nich nicht angeschaut haben und somit für diese Aufgabe nicht brauchen dürfen.

Kann mir da jemand weiterhelfen?



Vielen Dank! :-)

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Student, Punkte: 43

 

Kommt nach dem "mit" noch was?   ─   mathejean vor 5 Tagen, 14 Stunden

Nein, nach dem "mit" werden nur die Teilaufgaben a) und b) genannt...
  ─   jonase.gluch vor 5 Tagen, 12 Stunden
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2 Antworten
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Zur Bestimmung des Ranges einer Matrix, kannst du die Matrix auch auf die Obere Dreiecksform bringen.
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Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 2.53K

 

Vielen Dank für den Tipp! Für n = 3 habe ich so rausbekommen, dass der Rang = 2 ist.

Wie forme ich für den allgemeinen Fall die Matrix am einfachsten in die obere Dreiecksform um?
  ─   jonase.gluch vor 5 Tagen, 10 Stunden

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Man kann sich hier relativ leicht überlegen, wann man linear abhängige Spalten hat und wann nicht (und vor allem wie viele). Damit lässt sich dann entsprechend der Rang ermitteln. Aufgabe a) gibt es nicht umsonst. Da kann man ein bisschen herumprobieren.
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Selbstständig, Punkte: 14.96K

 

Bezüglich der linearen Abhängigkeit: Kann hier gesagt werden (da die Koeffizienten gemäss Aufgabe paarweise verschieden sind), dass die Spalten nur dann linear abhängig sind, wenn unter der ersten Zeile nur Nullzeilen stehen? Woraus dann folgen würde, dass der Rang für n allgemein = n-1 wäre?   ─   jonase.gluch vor 5 Tagen, 10 Stunden

Also dass die Koeffizienten paarweise verschieden sind, steht hier nirgends. Aber damit ist der Rang der Matrix dann auch klar. Warum soll der Rang $n-1$ sein?   ─   cauchy vor 5 Tagen, 10 Stunden

Unter der Matrix in der Aufgabe ... ;)

Der Rang ist ja definiert als die Anzahl linear unabhängiger Zeilen/Spalten, oder? Mit paarweise verschiedenen Koeffizienten gäbe es n linear unabhängige Spalten... somit wäre der Rang n und nicht n-1?

Gleichzeitig ist der Rang aber auch als die Anzahl der nicht Nullzeilen, wenn die Matrix in der oberen Dreiecksform ist, definiert. Für n = 3 kriege ich mit dieser Methode aber Rang = 2, was ja ungleich Rang = n ist, aber Rang = n-1 wäre.

Ich bin mit diesen Definitionen gerade etwas verwirrt.
  ─   jonase.gluch vor 5 Tagen, 10 Stunden

Ach, das hab ich tatsächlich übersehen...

Dann hast du dich bei dem Beispiel verrechnet.
  ─   cauchy vor 5 Tagen, 10 Stunden

Ist es richtig, dass es für n = 3 eine 3x3-Matrix ist?   ─   jonase.gluch vor 5 Tagen, 9 Stunden

Ist ja dann aus $\mathrm{Mat}(3;\mathbb{R})$.   ─   cauchy vor 5 Tagen, 9 Stunden

Gut, jetzt bin ich auch für n = 3 auf Rang = 3 gekommen.   ─   jonase.gluch vor 5 Tagen, 9 Stunden

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