Stochastik Baumdiagramm

Aufrufe: 110     Aktiv: 10.05.2024 um 01:40

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Ein grober Rechenweg mit der Erklärung wo oder wie die Unabhängigkeit vorliegt wäre super.
Vielen Dank schonmal für die Hilfe im Voraus :))

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Bei dieser Aufgabe muss man ausnutzen, dass in so einem Baum gewisse Regeln gelten.

Wenn da z.B. von der Baumwurzel oben zum Ereignis A ein Strich steht, der mit \(\frac{2}{5}\) beschriftet ist,
dann muss an dem Strich, von der Baumwurzel zum Erereignis \(\overline{A}\) geht, mit \(1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\) beschriftet sein.

Ebenso gilt die Pfadmultiplikationsregel:
Der Pfad "\(\mbox{Baumwurzel} \rightarrow  A \rightarrow B\)" hat die W. von \(\frac{2}{15}\).
Dann muss gelten \(\frac{2}{15}  = \underbrace{(\mbox{ W. vom Pfad Baumwurzel} \rightarrow  A)}_{2/5}  \cdot (\mbox{W. vom Pfad}\; A \rightarrow  B)\)
also \(\mbox{W. vom Pfad}\; A \rightarrow  B=1/3\). Also wird der Strich von A nach B mit \(\frac{1}{3}\) beschriftet.

Und mit dem oben gezeigten Trick berkommt man heraus, mit welcher W. der Strich von A nach  \(\overline{B}\) beschriftet werden muss.

An den Strich von \(\overline{A}\)  nach B muss man mit Unbekannten arbeiten. Beschriften wir ihn also mit p.
Dann muss der Strich von \(\overline{A}\)  nach  \(\overline{B}\)  mit 1-p beschriftet werden.

Mit der Pfadmultiplikationsregel kannst Du nun den Baum vervollständigen.

Die stochaistische Unabhängigkeit besagt nun: \(P(A\cap B) = P(A) P(B)\).
\(P(A\cap B)\) ist, wenn erst A und dann B eintrifft; der Wert steht unten links am Baum: 2/15.
\(P(A)\) ist, wie bereits gesagt, 2/5. Also muss P(B)=1/3 sein.

B kann über zwei Pfade passieren: Über A und über \(\overline{A}\) . Die W.-en dieser beiden Pfade sind zu addieren, und das muss dann 1/3 sein.
Das ergibt eine Gleichung in p, die man auflösen kann. Dann kannst Du im Baum die Beschriftungen "p" und "1-p" durch konkrete Zahlen ersetzen.
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