Im schulischen Bereich kommt es eigentlich nur vor, dass durch das "Quadrieren" zusätzliche Lösungen entstehen können und man daher eine Probe machen muss. Das ist natürlich bei Wurzelgleichungen der Fall. Das liegt eben daran, dass das Quadrieren einer Gleichung keine Äquivalenzumformung ist, da sich die Lösungsmenge der Gleichung ändern kann. 

Das kann man an einem einfachen Beispiel sehen. Während die Lösung der Gleichung $x=-1$ offensichtlich ist, liefert die quadrierte Gleichung $x^2=1$ die Lösungen $1$ und $-1$. Dass die erste Lösung aber keine Lösung der ersten Gleichung ist, sieht man auch sofort.   

Allgemein sollte man zur Prüfung der Lösungen immer eine Probe machen, vor allem dann, wenn man seiner Lösung nicht glaubt. Das hilft auch, Rechenfehler zu finden. In Klausuren muss man dann schauen, ob man die nötige Zeit dafür hat. Wenn man aber nicht unter Zeitdruck steht, sollte man seine Ergebnisse immer auf Plausibilität prüfen.