Dass wir einen Induktionsbeweis führen möchten, haben wir uns schon klar gemacht.

Der nächste Schritt ist nun, dass wir uns eine freie Variable aussuchen, die in \(\mathbb{N}\) liegt und über die wir die Induktion führen wollen (Wichtig: Vollständige Induktion geht in dieser Weise nur über natürliche Zahlen!). In diesem Beispiel gibt es nur die freie Variable \(n\) (denn \(i\) ist als Laufindex der Summen jeweils eine gebundene Variable), also führen wir die Induktion über \(n \in \mathbb{N}\). (In späteren Problemstellungen könnte es möglicherweise mehrere freie Variablen geben. Dann muss man immer ein bisschen rumprobieren, mit welcher von denen es am besten funktioniert.)

Nun möchten wir den Induktionsanfang machen. Oft muss man etwas Rechenarbeit leisten, bis man die erste Zahl gefunden hat, ab der die Aussage gilt. Praktischer Weise ist aber in unserem Beispiel die Aussage schon ab \(n=1\) gültig. Wir zeigen also nun, dass die Aussage gilt, wenn wir \(n=1\) einsetzen. Es gilt

\( \sum_{i=1}^{2 \cdot 1 - 1} \frac{1}{i} = \sum_{i=1}^1 \frac{1}{i} = \frac{1}{1} = \frac{(-1)^2}{1} = \frac{(-1)^{1+1}}{1} = \sum_{i=1}^1 \frac{(-1)^{i+1}}{i} = \sum_{i=1}^{2 \cdot 1-1} \frac{(-1)^{i+1}}{i} \)

Was hier nach einer einfachen und einleuchtenden Gleichungskette aussieht, ist oft das Produkt von viel rumprobieren. Dabei arbeitet man sich meist von rechts und links zur Mitte vor und hofft, dass die Gleichungen zusammenfinden. Es ist übrigens sehr schlechter Stil, so etwas mit Äquivalenzumformungen zu zeigen. Spätestens bei Ungleichungen führen solche Herangehensweisen dann zu Schwierigkeiten. Also bitte von Anfang an richtig machen.

Jetzt kommen wir zum eigentlichen Kernstück eines Induktionsbeweises, dem Induktionsschritt. Dazu nehmen wir zunächst an, dass unsere Aussage schon für ein \(r \in \mathbb{N}\) erfüllt ist. Das ist die sogenannt Induktionsannahme, die wir dann nachher verwenden wollen. (Ich verwende hier übrigens bewusst eine neue Variable \(r\) und nicht \(n\), weil die Notation gerade für Anfänger sonst irreführend sein kann. Es gibt jedoch viele, die in ihrer Notation nicht ganz sauber sind. Darauf sollte man sich dann einstellen und sich nicht verwirren lassen). Wir setzen für unsere Induktionsannahme also nun \(n=r\) in unsere Aussage ein und erhalten

\( \sum_{i=r}^{2r-1} \frac{1}{i} = \sum_{i=1}^{2r-1} \frac{(-1)^{i+1}}{i} \)

Das setzen wir nun als gültig voraus und möchten damit auch die Gültigkeit der Aussage für \(n=r+1\) zeigen. Das ist der eigentliche Induktionsschritt. Dabei versucht man nun die Gleichungen für \(n=r+1\) so umzuformen, dass man irgendwann die Induktionsannahme verwenden kann. Auch hier muss man oft rumprobieren. Eine Lösung wäre beispielsweise

\( \sum_{i=r+1}^{2(r+1)-1} \frac{1}{i} = \sum_{i=r+1}^{2r+1} \frac{1}{i} = \frac{1}{2r+1} + \frac{1}{2r} - \frac{1}{r} + \sum_{i=r}^{2r-1} \frac{1}{i} = \frac{1}{2r+1} + \frac{1}{2r} - \frac{1}{r} + \sum_{i=1}^{2r-1} \frac{(-1)^{i+1}}{i} = \frac{1}{2r+1}+\frac{-1}{2r} + \sum_{i=1}^{2r-1} \frac{(-1)^{i+1}}{i} \) \( = \frac{(-1)^{(2r+1)+1}}{2r+1} + \frac{(-1)^{(2r)+1}}{2r} + \sum_{i=1}^{2r-1} \frac{(-1)^{i+1}}{i} = \sum_{i=1}^{2r+1} \frac{(-1)^{i+1}}{i} = \sum_{i=1}^{2(r+1)-1} \frac{(-1)^{i+1}}{i} \)

Hier haben wir beim dritten Gleichheitszeichen die Induktionsannahme verwendet. Alles andere sind nur (mehr oder weniger) einfache Termumformungen.

Und damit ist unser Induktionsbeweis auch schon fertig.