Hallöchen, ich habe diese Aufgabe:
Sei \( K \) ein beliebiger Körper und \( A, B \in \operatorname{Mat}_{K}(n \times n) \), wobei \( A \neq 0, B \neq 0 \) und \( A \cdot B=0 \). Zeigen Sie, dass dann \( \operatorname{det}(A)=0=\operatorname{det}(B) \) gilt.

Ich habe mir dazu folgenden Beweis durch Widerspruch überlegt:
 Seien also \( A \neq 0, B \neq 0 \) und \( A \cdot B=0 \), angenommen es gelte $\operatorname{det}(A) \neq 0$ und $\operatorname{det}(B) \neq 0$

$\operatorname{det}(A \cdot B) = \operatorname{det}(0)=0 \neq \operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B)$, da $\operatorname{det}(A) \neq 0$ und $\operatorname{det}(B) \neq 0$ nach Annahme.
Daraus ergibt sich der Widerspruch zu einem Satz aus meiner VL nachdem: $\operatorname{det}(A \cdot B) = \operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B)$

Es folgt also die Behauptung. Ist das so ausführlich genug? Auf mich wirkt der Beweis ein wenig knapp, deshalb bin ich da etwas mistrauisch mir selbst gegenüber. Würde mich über ein kleines Feedback freuen.