Feedback zu einem Beweis

Aufrufe: 168     Aktiv: 28.10.2022 um 10:41

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Hallöchen, ich habe diese Aufgabe:
Sei \( K \) ein beliebiger Körper und \( A, B \in \operatorname{Mat}_{K}(n \times n) \), wobei \( A \neq 0, B \neq 0 \) und \( A \cdot B=0 \). Zeigen Sie, dass dann \( \operatorname{det}(A)=0=\operatorname{det}(B) \) gilt.

Ich habe mir dazu folgenden Beweis durch Widerspruch überlegt:
 Seien also \( A \neq 0, B \neq 0 \) und \( A \cdot B=0 \), angenommen es gelte $\operatorname{det}(A) \neq 0$ und $\operatorname{det}(B) \neq 0$

$\operatorname{det}(A \cdot B) = \operatorname{det}(0)=0 \neq \operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B)$, da $\operatorname{det}(A) \neq 0$ und $\operatorname{det}(B) \neq 0$ nach Annahme.
Daraus ergibt sich der Widerspruch zu einem Satz aus meiner VL nachdem: $\operatorname{det}(A \cdot B) = \operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B)$

Es folgt also die Behauptung. Ist das so ausführlich genug? Auf mich wirkt der Beweis ein wenig knapp, deshalb bin ich da etwas mistrauisch mir selbst gegenüber. Würde mich über ein kleines Feedback freuen.

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War eine fehlerhafte Antwort, sorry.
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Hallo leo.314,

ich widerspreche meinen Vorrednern: Dein Beweis-Versuch enthält einen entscheidenden inhaltlichen Fehler und funktioniert daher so nicht.

Du führst (korrekt) die Annahme $\det(A)\neq0$ UND $\det(B)\neq 0$ zum Widerspruch.
Damit hast du die Verneinung von  $\det(A)\neq0$ UND $\det(B)\neq 0$ gezeigt, also $\det(A)=0$ ODER $\det(B)=0$.
Du musst aber die stärkere Aussage $\det(A)=0$ UND $\det(B)=0$ zeigen.

Viele Grüße
Tobias
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Da hast Du recht. Fehler passieren mal, ich hab's bisher so gehandhabt, dass ich den Helfer darauf aufmerksam gemacht habe und ihm die Chance zum Verbessern gegeben habe. Und dann keinen downvote (nur wenn er nicht verbessert). Aber das kannst Du natürlich anders handhaben, dann weiß ich Bescheid.   ─   mikn 25.10.2022 um 21:08

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Ich sah das Problem, dass die beiden Antworten trotz des Fehlers Upvotes hatten. Das wollte ich gerne korrigieren. Wenn ich es richtig sehe, kann ich nach Korrektur der Antwort den Downvote wieder entfernen, was ich auch gerne tue.   ─   tobit 25.10.2022 um 21:14

Das wird für den, der die upvotes gegeben hat, auch nichts ändern. Aus der Tatsache, dass eine Antwort auf 0 votes steht (wo vorher +1 vote war), soll jemand schließen, dass die Antwort fehlerhaft war? Dann ist es doch klarer, man notiert das gleich bei der fehlerhaften Antwort.
Löschen kann ich meine Antwort nicht mehr, da sie schon akzeptiert war.
  ─   mikn 25.10.2022 um 21:20

Die Antworten bekommen in der Regel von den Fragys die Upvotes ohne Prüfung, ob das überhaupt stimmt. Die "vertrauen" uns da in der Hinsicht. Deswegen sollte das System meiner Meinung nach auch von den Helfys intensiver genutzt werden.   ─   cauchy 25.10.2022 um 21:22

@cauchy welches System? Die up/downvotes? Zum Glück sind ja hier die weitaus meisten Antworten richtig (im Sinne von "nicht falsch"). Und durch das Vertrauen haben wir schon eine Verantwortung hier keinen Murks zu schreiben (bzw. stehen zu lassen). Unterschiede gibt es dagegen in der didaktischen Gestaltung der Antwort. Und die können Fragys oft doch beurteilen (wenn auch intuitiv). Ausnahme: Alles haarklein vorgerechnet gibt oft upvotes.   ─   mikn 25.10.2022 um 21:29

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Okay hier eine richtige Antwort: e für \(n=1\) es ist Leere Aussage. Mit Laplace es folgt per Induktion. (Ich werde vielleicht noch nachdenken wie es ohne Induktion geht (:
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Der Fall $n=1$ ist ja uninteressant, weil er die Voraussetzung gar nicht erfüllen kann, weshalb da nichts zu zeigen ist.   ─   cauchy 25.10.2022 um 21:26

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Es geht ohne Induktion, wenn man nutzt, dass die Implikation $\det(A)\neq0\Rightarrow A\text{ invertierbar}$ gilt.   ─   tobit 25.10.2022 um 22:36

Danke!   ─   mathejean 26.10.2022 um 07:35

Jut dann ist der Fall $\det(A)=0$ und $\det B=0$ uninteressant.

Angenommen $\det A = 0$ und $\det B \neq 0$. Dann ist die Matrix $B$ invertierbar und es würde gelten:

$A=A \cdot E_n = A (B \cdot B^{-1}) = (AB)B^{-1} = 0B^{-1} = 0$
Widerspruch zu $A \neq 0$. Analog für $\det A \neq 0; \det B =0$

Also bleibt nur $\det(A)=0$ und $\det B=0$ woraus die Behauptung folgt
  ─   leo.314 28.10.2022 um 10:41

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