Lineare Abbildung MATRIX

Aufrufe: 210     Aktiv: 03.09.2022 um 22:32

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Hi!
Habt ihr einen Ansatz, wie ich vorgehen sollte, für folgende Aussage: 
Info: B= (m,n)-Matrix & A = (l,m)-Matrix

Aussage:
ker(B) ⊆ ker (A*B)

Ich habe begonnen mit:
(A*B)x = y 
Ax*Bx = y
y1*y2 = y
Also: y2 aus ker(B) ⊆ ker(A*B) 
Macht das Sinn?

Danke im Vorraus
LG
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1 Antwort
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Es ist leider nicht \((AB)x=AxBx\), lass uns aber mit mehr Struktur in dem Beweis arbeiten. Sei also \(x\in \ker( B)\), d.h. ...., also ist \((AB)x=A(Bx)=\ldots\) und somit \(x \in \ker(AB)\)
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Hey! Danke für deine Antwort.
Kannst du noch etwas zusätzlich erklären, damit ich das besser nachvollziehen kann? Den Teil (AB)x =Ax*Bx verstehe ich nun, dass es nicht klappt, aber der zweite teil deiner antwort wurde mir nicht 100%-ig klar
  ─   userf4fd70 23.08.2022 um 21:46

Um zu zeigen, dass \(\ker(B)\subseteq \ker(AB)\) gilt müssen wir für ein beliebigen \(x \in \ker(B)\) zeigen, dass \(x \in \ker(AB)\) gilt, also \((AB)x=0\). Wir sollten also einfach mal \((AB)x\) ausrechnen und schauen was rauskommt, dabei nutzen wir \(x \in \ker(B)\)   ─   mathejean 24.08.2022 um 09:25

Okay danke dir, Also ich habe es jetzt mal versucht:
x ∈ ker(B) B*x=0 (denn Fakt ist: ker(B) = 0 gilt für (m,n)-Matrizen)
(AB)x = A(Bx) = A*0 = 0, also gilt: x ∈ ker(B) ∈ ker(A*B), also stimmt die Aussage.
Passt das so habe ich das richtig verstanden? Ich frage öfters nach, da ich diese stumpfen Beweise immer schwierig finde und sie daher verstehen muss.
  ─   userf4fd70 24.08.2022 um 13:09

Okay super, danke danke!! Ich werde drauf achten   ─   userf4fd70 24.08.2022 um 13:40

Ich habe noch einen Beweis: Das Bild von A*B ist in A enthalten.

Ich dachte jetzt: A*x=b
Ax=(B^-1*B)*Ax=B^-1(AB)x=B*B^(-1)*b = b , also stimmt die Aussage oben. Passt das auch ?
  ─   userf4fd70 24.08.2022 um 14:59

Nein, passt gar nicht. Es ist hier trotz der Tipps kein Lernfortschritt erkennbar. mathejean/cauchy haben Dir gesagt, wie man sauber vorgeht. Insb. solltest Du dabei gelernt haben, wie man anfängt zu zeigen, dass eine Menge Teilmenge einer anderen ist.
Und bei den Hinweisen zum richtigen Notieren geht es nicht um Kosmetik, sondern um das richtige Denken, das dann im Hintergrund dabei wirkt (heißt: unsauberes Notieren beruht auf unsauberem Denken, sieht man ja).
Also: Schreib erstmal den Beweis für diese Aufgabe (die mit dem kern) sauber auf. Dabei wirst Du merken, wie man einen Beweis zur Teilmengenbeziehung angeht. Dann lade das hier nochmal zur Kontrolle hoch.
Danach kannst Du die Aussage mit dem Bild angehen.
Halte Dich genau an das Muster.
  ─   mikn 24.08.2022 um 15:17

ker(B) ⊆ ker (A*B)

Z.z. x ⊆ ker (B) = x ⊆ ker (A*B)

1. Sei ker(B) = {x I B*x=0} und es existiert ein x ⊆ ker (B)
Es gilt: B*x=0

Prüfe nun, ob x ⊆ ker (A*B) gilt:
(AB)*x = A*(Bx) = A*0 = 0 -> x ⊆ ker (A*B) (Zwischenfrage: Ist es richtig, dass ich Bx dann als 0 schreibe? Habe ein unwohles Gefühl)
Ich dachte ansonsten vielleicht so: (AB)*x = A*(Bx) = 0 -> x ⊆ ker (A*B)

Also gilt: ker(B) ⊆ ker (A*B)
q.e.d.

Ist es nun besser?
  ─   userf4fd70 29.08.2022 um 15:04

Die Schreibweisen gehen durcheinander. mathejean hat Dir oben in der Antwort den Anfang und das Ende des Beweises vorgegeben. Das bräuchtest Du nur abschreiben, tust Du aber nicht. Und dann kommst Du auf Abwege.
Im einzelnen:
Z.Z.: ... $x \in ker(B)$: Mach Dir den Unterschied zwischen $\in$ und $\subseteq$ klar. Außerdem nicht $=$, sondern $\Longrightarrow$.
Zu 1.: s.o. Antwort von mathejean. "Sei" bedeutet eine Annahme, $ker(B)=...$ gilt nach Def. - überleg selbst: ist das eine Annahme?
"Prüfe nun.... " Zeichen beachten, s.o. Das ist soweit in Ordnung. Zur Zwischenfrage: Du hast doch Bx als 0 geschrieben, ist doch ok.
Nochmal: Beachte das Muster und die Zeichen und die Zusammenhänge ("Sei" usw.).
Wenn Du Probleme hier mit der Darstellung hast, kannst Du gerne auch ein Foto Deiner handschriftl. Rechnung hochladen.
  ─   mikn 29.08.2022 um 15:15

Danke für Ihre tolle Hilfe! So, ich versuche es nochmal und richte mich mathjean's Weg:

Sei x ∈ ker(B) d.h. ker(B) = B*x = 0
Prüfe nun, ob x ∈ ker (A*B) gilt:
(AB)*x = A*(Bx) = A*0 = 0

Es folgt: ker(B) ⊆ ker(A*B)

Wie siehts damit aus?
  ─   userf4fd70 29.08.2022 um 16:23

Fast richtig, wenn du ker(B)= weglässt!   ─   mathejean 29.08.2022 um 16:34

Dann so.

Sei x ∈ ker(B) d.h. B*x = 0
Prüfe nun, ob x ∈ ker (A*B) gilt:
(AB)*x = A*(Bx) = A*0 = 0
Es folgt: ker(B) ⊆ ker(A*B)

Danke für die Hilfe, habe Schwierigkeiten bei diesen Beweisen, daher schätze ich jeden Kommentar
  ─   userf4fd70 29.08.2022 um 16:42

Ja, das ist jetzt so richtig, sehr gut! Weil du erwähnst, dass du Schwierigkeiten hast, ist es dir klar, warum aus Vorletzte Zeile Letzte Zeile folgt? Ansonsten wir können auch einen kleinen Zwischenschritt machen   ─   mathejean 29.08.2022 um 17:04

Danke für deine Motivation..:) Also, was ich jetzt dachte, weshalb die letzte Zeile aus der vorletzten folgt war, weil wir ja ein beliebiges x ∈ ker(B) haben , welches 0 ergibt. Und dann haben wir auch bei (A*B) so ein x gefunden, das zur 0 führt. Und daher folgt dann das ker(B) eine Teilmenge von ker(A*B) sein muss. Ist das richtig so?   ─   userf4fd70 29.08.2022 um 17:22

Wir haben nicht nur ein \(x\) gefunden, so dass \((AB)x=0\) ist sondern jedes \(x\) mit \(Bx=0\) erfüllt auch \((AB)x=0\).   ─   mathejean 29.08.2022 um 17:41

Der Zwischenschritt, der noch zwischen vorletzter und letzter Zeile stehen sollte, ist der letzte Schritt aus dem Muster in der ersten Antwort von mathejean. Du hast jetzt den ersten Schritt aus seinem Muster verwendet (gut), aber es sollte mit dem letzten Schritt aus dem Muster aufhören.
Mach Dir die logischen Zusammenhänge nochmal genau klar. Erst danach ist es sinnvoll, den nächsten Beweis anzugehen.
  ─   mikn 29.08.2022 um 19:31

Super, danke für die ausführlichen Erklärungen.   ─   userf4fd70 03.09.2022 um 22:32

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