Lineare Abbildung MATRIX

Aufrufe: 458     Aktiv: 03.09.2022 um 22:32

0
Hi!
Habt ihr einen Ansatz, wie ich vorgehen sollte, für folgende Aussage: 
Info: B= (m,n)-Matrix & A = (l,m)-Matrix

Aussage:
ker(B) ⊆ ker (A*B)

Ich habe begonnen mit:
(A*B)x = y 
Ax*Bx = y
y1*y2 = y
Also: y2 aus ker(B) ⊆ ker(A*B) 
Macht das Sinn?

Danke im Vorraus
LG
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 33

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Es ist leider nicht \((AB)x=AxBx\), lass uns aber mit mehr Struktur in dem Beweis arbeiten. Sei also \(x\in \ker( B)\), d.h. ...., also ist \((AB)x=A(Bx)=\ldots\) und somit \(x \in \ker(AB)\)
Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 10.87K

 

Hey! Danke für deine Antwort.
Kannst du noch etwas zusätzlich erklären, damit ich das besser nachvollziehen kann? Den Teil (AB)x =Ax*Bx verstehe ich nun, dass es nicht klappt, aber der zweite teil deiner antwort wurde mir nicht 100%-ig klar
  ─   userf4fd70 23.08.2022 um 21:46

Um zu zeigen, dass \(\ker(B)\subseteq \ker(AB)\) gilt müssen wir für ein beliebigen \(x \in \ker(B)\) zeigen, dass \(x \in \ker(AB)\) gilt, also \((AB)x=0\). Wir sollten also einfach mal \((AB)x\) ausrechnen und schauen was rauskommt, dabei nutzen wir \(x \in \ker(B)\)   ─   mathejean 24.08.2022 um 09:25

Okay danke dir, Also ich habe es jetzt mal versucht:
x ∈ ker(B) B*x=0 (denn Fakt ist: ker(B) = 0 gilt für (m,n)-Matrizen)
(AB)x = A(Bx) = A*0 = 0, also gilt: x ∈ ker(B) ∈ ker(A*B), also stimmt die Aussage.
Passt das so habe ich das richtig verstanden? Ich frage öfters nach, da ich diese stumpfen Beweise immer schwierig finde und sie daher verstehen muss.
  ─   userf4fd70 24.08.2022 um 13:09

Okay super, danke danke!! Ich werde drauf achten   ─   userf4fd70 24.08.2022 um 13:40

Ich habe noch einen Beweis: Das Bild von A*B ist in A enthalten.

Ich dachte jetzt: A*x=b
Ax=(B^-1*B)*Ax=B^-1(AB)x=B*B^(-1)*b = b , also stimmt die Aussage oben. Passt das auch ?
  ─   userf4fd70 24.08.2022 um 14:59

ker(B) ⊆ ker (A*B)

Z.z. x ⊆ ker (B) = x ⊆ ker (A*B)

1. Sei ker(B) = {x I B*x=0} und es existiert ein x ⊆ ker (B)
Es gilt: B*x=0

Prüfe nun, ob x ⊆ ker (A*B) gilt:
(AB)*x = A*(Bx) = A*0 = 0 -> x ⊆ ker (A*B) (Zwischenfrage: Ist es richtig, dass ich Bx dann als 0 schreibe? Habe ein unwohles Gefühl)
Ich dachte ansonsten vielleicht so: (AB)*x = A*(Bx) = 0 -> x ⊆ ker (A*B)

Also gilt: ker(B) ⊆ ker (A*B)
q.e.d.

Ist es nun besser?
  ─   userf4fd70 29.08.2022 um 15:04

Danke für Ihre tolle Hilfe! So, ich versuche es nochmal und richte mich mathjean's Weg:

Sei x ∈ ker(B) d.h. ker(B) = B*x = 0
Prüfe nun, ob x ∈ ker (A*B) gilt:
(AB)*x = A*(Bx) = A*0 = 0

Es folgt: ker(B) ⊆ ker(A*B)

Wie siehts damit aus?
  ─   userf4fd70 29.08.2022 um 16:23

Fast richtig, wenn du ker(B)= weglässt!   ─   mathejean 29.08.2022 um 16:34

Dann so.

Sei x ∈ ker(B) d.h. B*x = 0
Prüfe nun, ob x ∈ ker (A*B) gilt:
(AB)*x = A*(Bx) = A*0 = 0
Es folgt: ker(B) ⊆ ker(A*B)

Danke für die Hilfe, habe Schwierigkeiten bei diesen Beweisen, daher schätze ich jeden Kommentar
  ─   userf4fd70 29.08.2022 um 16:42

Ja, das ist jetzt so richtig, sehr gut! Weil du erwähnst, dass du Schwierigkeiten hast, ist es dir klar, warum aus Vorletzte Zeile Letzte Zeile folgt? Ansonsten wir können auch einen kleinen Zwischenschritt machen   ─   mathejean 29.08.2022 um 17:04

Danke für deine Motivation..:) Also, was ich jetzt dachte, weshalb die letzte Zeile aus der vorletzten folgt war, weil wir ja ein beliebiges x ∈ ker(B) haben , welches 0 ergibt. Und dann haben wir auch bei (A*B) so ein x gefunden, das zur 0 führt. Und daher folgt dann das ker(B) eine Teilmenge von ker(A*B) sein muss. Ist das richtig so?   ─   userf4fd70 29.08.2022 um 17:22

Wir haben nicht nur ein \(x\) gefunden, so dass \((AB)x=0\) ist sondern jedes \(x\) mit \(Bx=0\) erfüllt auch \((AB)x=0\).   ─   mathejean 29.08.2022 um 17:41

Super, danke für die ausführlichen Erklärungen.   ─   userf4fd70 03.09.2022 um 22:32

Kommentar schreiben