Für die algebraische geht es sehr ähnlich.
Sei \(p_1(x)=\det (A-xI)\) das char. Polynom vom \(A\).
Wir benutzen gleich die Regel \(\det (B\cdot C) =\det B\cdot \det C\) und \(\det uB=u^n\det B\) für \(u\in R\).
Dann ist das char. Pol. von \(A^{-1}\):
\(p_2(x)=\det (A^{-1}-xI) = \det (A^{-1}(I-xA)) = \det A^{-1}\det (I-xA) = \det A^{-1}\det (-x(A-x^{-1}I)) = (-x)^n\det A^{-1}\det (A-x^{-1}I) = (-x)^n \det A^{-1}p_1(x^{-1})\).
Kannst Du von da auf die Gleichheit der alg. Vielfachheiten schließen?
Lehrer/Professor, Punkte: 38.93K
Kannst du das vielleicht erläutern wie du darauf kommst und wie man davon auf die Gleichheit der alg. Vielfachheit schließen kann?
─ user4e3d2f 18.07.2021 um 23:09
─ user4e3d2f 18.07.2021 um 23:22
\(A^{-1}\) ist . Das habe ich so gezeigt:
Sei v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Dann ist v wegen
Av = λv
⇔ \(A^{-1}\)Av = \(A^{-1}\)λv
⇔ v = λ \(A^{-1}\)v
⇔ \(λ^{-1}\)v = \(A^{-1}\)v
auch ein Eigenvektor von \(A^{-1}\) zum Eigenwert \(λ^{-1}\).
Also sind die Eigenräume von A und \(A^{-1}\) identisch und somit auch die geometrischen Vielfachheiten.
Bei der 2. muss man das ganze nun soweit ich weiß für die algebraische Vielfachheit zeigen.
Jedoch weiß ich nicht genau wie ich hier vorgehen muss. ─ user4e3d2f 18.07.2021 um 22:46