Geometrische und Algebraische Vielfachheit

Aufrufe: 75     Aktiv: 18.07.2021 um 23:30

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Aufgabe:

Sei K ein Körper, n ∈ ℕ mit n > 0 und A ∈ Mat(n x n, K) eine invertierbare Matrix. Zeigen Sie

1. Es gilt γA(λ) = γA-1-1)

2. Es gilt µA(λ) = µA−1-1).

Hey, die erste Behauptung habe ich schon gezeigt, aber bei der zweiten weiß ich nicht so ganz wie ich die zeigen soll. Kann mir vielleicht einer zeigen wie die funktioniert?

gefragt

Punkte: 20

 

Es gibt nach meinem Wissen keine standardisierte Notation zur geom./alg. Vielfachheit. Bitte klär uns auf, welche welche ist.   ─   mikn 18.07.2021 um 21:58

Soweit ich weiß sollte man bei der 1 zeigen, dass die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ von A gleich der geometrischen Vielfachheit des Eigenwertes \(λ^{-1}\) von
\(A^{-1}\) ist . Das habe ich so gezeigt:

Sei v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Dann ist v wegen

Av = λv
⇔ \(A^{-1}\)Av = \(A^{-1}\)λv
⇔ v = λ \(A^{-1}\)v
⇔ \(λ^{-1}\)v = \(A^{-1}\)v

auch ein Eigenvektor von \(A^{-1}\) zum Eigenwert \(λ^{-1}\).

Also sind die Eigenräume von A und \(A^{-1}\) identisch und somit auch die geometrischen Vielfachheiten.

Bei der 2. muss man das ganze nun soweit ich weiß für die algebraische Vielfachheit zeigen.

Jedoch weiß ich nicht genau wie ich hier vorgehen muss.
  ─   user4e3d2f 18.07.2021 um 22:46
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1 Antwort
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Der Beweis für die geom. Vielfachheit ist sehr gut (freue mich, sieht man hier selten).
Für die algebraische geht es sehr ähnlich.
Sei \(p_1(x)=\det (A-xI)\) das char. Polynom vom \(A\).
Wir benutzen gleich die Regel \(\det (B\cdot C) =\det B\cdot \det C\) und \(\det uB=u^n\det B\) für \(u\in R\).
Dann ist das char. Pol. von \(A^{-1}\):
\(p_2(x)=\det (A^{-1}-xI) = \det (A^{-1}(I-xA)) = \det A^{-1}\det (I-xA)  = \det A^{-1}\det (-x(A-x^{-1}I))  = (-x)^n\det A^{-1}\det (A-x^{-1}I)  = (-x)^n \det A^{-1}p_1(x^{-1})\).
Kannst Du von da auf die Gleichheit der alg. Vielfachheiten schließen?
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Nicht wirklich, das sieht gerade sehr verwirrend für mich aus
Kannst du das vielleicht erläutern wie du darauf kommst und wie man davon auf die Gleichheit der alg. Vielfachheit schließen kann?
  ─   user4e3d2f 18.07.2021 um 23:09

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\(\lambda\) hat die alg. V \(k\) als EW von \(A \iff p_1(x)=(x-\lambda)^kq(x)\) mit \(q\) Polynom vom Grad \(n-k\) und \(q(\lambda)\neq 0\). Überleg Dir, was das anhand der obigen hergeleiteten Formel für \(p_2\) aussagt.
Lass Dir etwas Zeit, das muss man nicht auf den ersten Blick sehen.
  ─   mikn 18.07.2021 um 23:14

Könntest du mir bitte auf die Sprünge helfen? Ich komm nicht drauf. Das sieht sehr verwirrend aus. Vielleicht kann ich es ja nachvollziehen wenn ich den restlichen Teil des Beweises sehe.
  ─   user4e3d2f 18.07.2021 um 23:22

Man darf da ruhig länger als 5 Minuten nachdenken. Wir haben
\(p_2(x)=(-x)^n\cdot \det A^{-1}\cdot p_1(x^{-1})\) und \(p_1(x)=(x−\lambda)^k\cdot q(x)\). Benutze noch: \(\frac1x -\lambda=\frac{\lambda}x \cdot (\frac1\lambda -x)\). So, und jetzt aber Du.
  ─   mikn 18.07.2021 um 23:30

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