Projektionsmatrix erstellen mit einem Richtungsvektor und einer Höhe

Erste Frage Aufrufe: 72     Aktiv: vor 3 Tagen, 6 Stunden

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Hallo zusammen,

Ich arbeite an der 2 Aufgabe.

Ich weiss nicht wie ich die 2 Aufgabe lösen kann. Welche Schritte ich machen muss um eine Projektionsmatrix mit einem Richtungsvektor und einer Höhe zu erstellen. In der ersten Aufgabe habe ich den Richtungsvektor a = (1,2,-1) gewählt und dazu die Höhe 1. Die möchte ich gerne widerverwenden, dann kann ich den berechneten Punkt P auf P' kontrollieren aus der Aufgabe 1.

Ich hab es über ein LGS versucht und bekomme zu viele Unbekannte, das ist wohl nicht der richtige Weg. Hat jemand eine Idee, welche Schritte ich machen muss um so eine Aufgabe zu lösen?

Danke für euren Input und Hilfe.

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Die $x$- und $y$-Koordinate bleiben bei der Projektion auf die Ebene $\varepsilon_h:z=h$ unverändert. Außerdem schreibt man die Projektionsmatrix VOR den Vektor, also $MP=P'$. Was muss denn in der Matrix stehen, damit die ersten beiden Koordinaten unverändert bleiben? Und wie muss die 3. Koordinate geändert werden? Was steht dafür in der Matrix?
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Selbstständig, Punkte: 12.7K

 

Danke für die Unterstützung.

x und y unverändert, die haben den Wert vom Richtungsvektor x = 1 y = 2
die 3 Koordinate bekommt den Wert h = z somit 1 (in meinem Beispiel: Höhe = 1)
Sieht dann die Projektionsmatrix ungefähr so aus:

1 0 0
0 2 0
0 0 1

Danke für die Hilfe



  ─   parzival 12.10.2021 um 00:32

Nein, sieht sie nicht. Du multiplizierst die Matrix ja mit deinem Richtungsvektor und bekommst dann den neuen Vektor raus. Wenn du diese Matrix mit deinem Vektor multiplizierst, passiert allerdings etwas anderes... rechne mal nach.   ─   cauchy 12.10.2021 um 00:46

Stimmt, da bekomme ich komische Werte.
Wenn ich jetzt x und y unverändert lasse mit dem Wert 1, dann erhalte ich die Einheitsmatrix. Wie muss ich jetzt mit dem Richtungsvektor umgehen?
  ─   parzival vor 6 Tagen, 6 Stunden

Wie musst du denn die dritte Koordinate berechnen?   ─   cauchy vor 6 Tagen, 6 Stunden

Ich hab versucht es in der Seitenansicht zu zeichnen. In meinem Buch habe ich gesehen,
das die Projektion M so aussieht:
1 0 (cos(b)/ tan(a))
0 1 (sin(b) / tan(a))

Wie bekomme ich jetzt den Winkel a oder b?

Ich dachte über Trigometrie, y und x sind vom Richtungsvektor :

ay = tan(Gegenkathete / Ankathete), das wäre in meinem Fall a = tan(h / y)
ax = tan(Gegenkathete / Ankathete), das wäre in meinem Fall a = tan(h / x)

In meiner Zeichnung habe ich dann den Richtungsvektor gespiegelt. Es hat so ausgesehen wie ein gleischschenkliges Dreieck. Macht das Sinn? Wäre dann der Winkel -a = b?

Danke für die Hilfe
  ─   parzival vor 3 Tagen, 7 Stunden

Warum so kompliziert? Du musst doch nur die dritte Koordinate vom gegebenen Richtungsvektor auf den Wert $h$ ändern. Oder interpretiere ich die Aufgabe völlig falsch?   ─   cauchy vor 3 Tagen, 7 Stunden

Ich kann dir das nicht beantworten, wenn ich das genau wüsste, dann müsste ich hier nicht um Rat fragen.
Ich habe die komplette Aufgabe gepostet.
  ─   parzival vor 3 Tagen, 6 Stunden

Wie gesagt, nach meiner Interpretation muss nur die 3. Koordinate auf $h$ projiziert werden.   ─   cauchy vor 3 Tagen, 6 Stunden

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\(\vec p'=\vec p+\lambda \vec a\iff \pmatrix{x'\\y'\\1}=\pmatrix{x\\y\\z}+\lambda \pmatrix{a\\b\\c}\Rightarrow \lambda =\frac{1-z}{c}\)
\(\iff \vec p'=\pmatrix{x'\\y'\\1}=\pmatrix{x+\frac{1-z}{c}\cdot a\\y+\frac{1-z}{c}\cdot b\\1}\)
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Lehrer/Professor, Punkte: 4.58K

 

Der Vektor wird nicht auf die $xy$-Ebene projiziert. Und dass $x$ und $y$ unverändert bleiben, findet auch keine Berücksichtigung.   ─   cauchy vor 6 Tagen, 12 Stunden

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