Erstmal gilt sicher nicht \(f(f^{-1}(B))\subseteq X\), sondern \(f(f^{-1}(B))\subseteq Y\), da \(f:X\to Y\). Die Aufgabe ist schon richtig gestellt, du sollst \(f(f^{-1}(B))\subseteq B\) zeigen. Hier gilt nicht immer Gleichheit. Betrachte z.B. \(f:\mathbb R\to\mathbb R,x\mapsto x^2\) und \(B=[-1,1]\). Dann gilt \(f(f^{-1}(B))=[0,1]\subsetneq B\).
Die Aufgabe selbst ist recht einfach. Nimm dir ein \(x\in f(f^{-1}(B))\) und zeige, dass \(x\in B\) sein muss. Schaffst du das?