Beweis / Urbild einer Funktion

Aufrufe: 50     Aktiv: 14.02.2021 um 19:07

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Hi zusammen, es geht um folgende Aufgabe:





Diese Definition wurde vorher genannt:


gemäss dieser Definition müsste dann

sein, oder? Aber daraus folgt immer nur die Gleichheit und nicht die Teilmengen Relation:

Wo liegt der Überlegungsfehler?
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1 Antwort
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Erstmal gilt sicher nicht \(f(f^{-1}(B))\subseteq X\), sondern \(f(f^{-1}(B))\subseteq Y\), da \(f:X\to Y\). Die Aufgabe ist schon richtig gestellt, du sollst \(f(f^{-1}(B))\subseteq B\) zeigen. Hier gilt nicht immer Gleichheit. Betrachte z.B. \(f:\mathbb R\to\mathbb R,x\mapsto x^2\) und \(B=[-1,1]\). Dann gilt \(f(f^{-1}(B))=[0,1]\subsetneq B\).
Die Aufgabe selbst ist recht einfach. Nimm dir ein \(x\in f(f^{-1}(B))\) und zeige, dass \(x\in B\) sein muss. Schaffst du das?
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Danke für deine Antwort. du hast natürlich recht, das müsste die Teilmenge zu Y sein.

Vermutlich hab ich es jetzt geschnallt; d.h. die Teilmenge B ist unabhängig vom Argument und so kann es passieren, dass ich in meiner Teilmenge B Werte habe, auf die nicht abgebildet werden kann, oder?
  ─   don formidus 14.02.2021 um 15:54

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Das ist der Grund dafür, warum es keine Gleichheit geben kann, ja.   ─   stal 14.02.2021 um 19:07

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