Lineare Abbildung (Untersuche auf Injektivität und Surjektivität) und Definitionsbereich D

Aufrufe: 509     Aktiv: 02.02.2022 um 23:11
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Hallo, wie überpüft man bei folgender Aufgabe bei der Matrix die mit einem Wert "x" mal genommen wird die Injektivität und Surjektivität ? Gibt es da mehrere Ansätze und wie sollte man am besten vorgehen ?  Und bei Teil b) ist doch R der größte Definitonsbereich oder nicht, ich kann ja die Funktion auch folgenderweiße schreiben : x^2 + 1 - x oder geht es dabei darum ob ich auch negative Zahlen mit dieser Funktion darstellen kann ? 

Wäre sehr nett wenn ihr mir weiterhelfen könnt. Am besten wären Schritt für Schritt erklären aber bin für jede Hilfe dankbar ^^
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1 Antwort
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Für Endomorphismen endlich erzeugter Vektorräume ist Surjektivität und Injektivktät äquivalent. Auch ist eine lineare Abbildung genau dann injektiv,  wenn sie trivialen Kern hat. Normalerweise macht man hier dann Gauß, schau dir aber mal die Zeilen ganz genau an! Bei der b) musst du aufpassen, dass der Termin unter der Wurzel nicht negativ wird.
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Student, Punkte: 10.37K

 
Danke also könnte ich ja auch den Dimensionssatz verwenden und wenn der Kern = 0 ist also nur der Nullvektor im Kern liegt wäre es injektiv und surjektiv (Hoffe ich bring da grad nichts auseinander). Und für b) ich bekomme doch für alles größer als 1 nen negativen Term unter der Wurzel.   ─   user895a23 02.02.2022 um 15:00
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Ganz genau, der Dimensionssatz liefert hier die Begründung für Äquivalenz von Surjektivität und Injektivktät. Nur hier ist der Kern nicht trivial, schau dir mal ganz genau die Zeilen der Matrix an. B) genau   ─   mathejean 02.02.2022 um 15:04
Ok alles klar meinst weil die Zeilen nicht vielfache von einander sind ? Und zu b) Ja kann ich dann einfach schreiben D = {0,1} ? Und schonmal vielen Dank für die Hilfe   ─   user895a23 02.02.2022 um 15:24
@mikn Ja du hast recht wollte mir das nur anders aufschreiben. Ach so du meinst den negativen Bereich ja den hatte ich gerade vergessen also D = -1, 0 ,1   ─   user895a23 02.02.2022 um 15:27
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Addiere doch einfach mal eine Zeile zu einer anderen geschickt!   ─   mathejean 02.02.2022 um 16:30
Ja die 3 + 2 Zeile ergibt die 1.Zeile und die 1 - 3 Zeile die 2 Zeile. Demnach wird der erste Zeilen Vektor aus dem 2 und 3 Vektor gebildet   ─   user895a23 02.02.2022 um 17:49
Und was wäre dann der Definitionsbereich ? Ich darf doch unter der Wurzel nicht negativ werden wenn ich jetzt zahlen größer als 1 oder kleiner -1 einsetze komme ich in einen negativen Bereich.   ─   user895a23 02.02.2022 um 21:57
Weil ich einen Fehler gemacht hab tut mir ja leid das nicht alles mathematisch Korrekt ist was ich sage oder schreibe, ich kann Sie beruhigen ich habe nicht vor Mathe zu meiner Hauptbeschäftigung zu machen. Ich frag mich manchmal echt was das Problem ist einfach zu schreiben " Du hast da einen Fehler in deiner Notation gemacht, du meintest wohl eher D = {-1, ... , 0...., 1}" statt "Dann mach es halt richtig" , von höflich sein ist noch niemand gestorben.   ─   user895a23 02.02.2022 um 22:16
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Dann tut es mir leid, da habe ich sie falsch verstanden. Mein Ziel ist es nicht einfach Lösungen zum nachlesen zu bekommen. Das bringt gar nix, dass merkt man spätestens wenn man etwas in der Theorie durch zuschauen verstanden hat oder meint es zu tun, dann aber merken muss das man praktisch nicht in der Lage ist es selbst zu tun, aber genau das muss ich in einer Klausur tun. Ich bin da voll ihrer Meinung selbst machen hilft am meisten, die kenne ich trotzdem kann ich ja einen Fehler machen den ich ja gemacht habe. Mir fällt da ein dass mein Prof auch verwundert war das viele Studenten Probleme mit Grundlagen haben z.B.

Wir hatten letzten eine Klausur ohne Taschenrechner soweit so gut, dabei ist rausgekommen das viele Studenten Probleme mit Bruchrechnen haben und unser Prof. hat uns verwundert gefragt woran das liegen könnte da man es doch beigebracht bekäme. Das ist richtig jedoch bekommt man es einmal beigebracht um es dann nicht mehr zu Verwenden danach heißt es Taschenrechner raus und fertig und das schien er offenbar nicht zu Wissen. Das soll keine Rechtfertigung sein.

Aber missverstehen Sie mich bitte nicht ich bin dankbar für ihre Hilfe.
Ich wünsche ihnen noch einen schönen Rest Abend.
Mfg   ─   user895a23 02.02.2022 um 22:41
Danke. Ja das kann ich bestätigen ich weiß nicht genau wie alt er ist aber er wirkt jung, leider hält er in Corona Zeiten keine Vorlesung lediglich Audios dabei sind seine Vorlesungen nicht schlecht. Ja habe es in den letzten Jahren durch ein paar Youtuber mitbekommen die Lehrvideos machen aber auch durch Medien, auch finde ich sehr Schade das mir in der Schule oft auch nicht vermittelt wird warum ich das gerade mache und wo das Anwendung findet, so z.B. könnte man Schülern doch sagen das Vektoren und Matrizen z.B. bei 3D Grafiken, Videospielen usw. Anwendung finden.   ─   user895a23 02.02.2022 um 23:11

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