Definitionsbereich

Aufrufe: 218     Aktiv: 16.10.2023 um 16:48

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Hallo, ich habe eine Frage zum Definitionsbereich folgender Funktion und folgendem Vektor:

Kurz die Angabe:
"Sei h: \((-\frac {\pi} {2}, \frac {\pi} {2}) \Rightarrow R\) definiert durch \(h(t) = cos(t)^{sin(t)}\). Berechne die Ableitung h' auf zwei Arten:
a) Durch Differenzieren von h mithilfe der Ableitungsregeln
b) Anwendung der Kettenregel auf h=f°r mit
                       \(r(t) = (cos(t), sin(t))\)   und    \(f(x,y) = x^y\)
Geben sie geeignete Definitionsbereiche für r und f an."

Ich habe abgeleitet auf beide Arten und das Ergebnis ist:

\(h' = \cos t^{\sin t}\cdot(\cos t\cdot\ln(\cos t) - \frac {\sin t^2} {\cos t})\)

Definitionsbereich \(r(t): (-Pi/2,Pi/2) \Rightarrow R^2 \)
Definitionsbereich \(f: R^2 -> R \)

Nun endlich zu meiner Frage:

Warum ist hier der Definitonsbereich in der Angabe für \((-\frac {\pi} {2}, \frac {\pi} {2})\)  gewählt worden? Liegt dies daran, dass in der Ableitung ein ln(cos(t)) vorkommt, und ln nicht negativ sein darf? In der funktion h selber ist dies ja nicht der fall und da könnte ich ja von [0,2Pi] gehen. Will das nur gerne verstehen.
Vielen Dank!

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Moin,

das liegt daran, dass die Funktion außerhalb ihres Definitionsbereiches nicht wohldefiniert ist: Für $x<-\frac{\pi}{2}$ ist $\cos{x}<0$. Also ist die Basis der Exponentialfunktion negativ, und das ergibt ein Problem. Oft ist die Exponentialfunktion nur für positive Basen definiert (z.B. auf Wikipedia). Das kann man zwar mittels des Logarithmus verallgemeinern, allerdings bildet die Funktion dann nicht nur ins Reelle, sondern auch ins Komplexe ab, und das soll hier vermieden werden.

LG

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Vielen Dank!   ─   eldegery 16.10.2023 um 16:48

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