du hast in der Schule was Falsches gelernt (glaub' ich nicht), dir was Falsches aufgeschrieben / gemerkt, oder hier einen Fehler produziert:bei einem Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt ist die ERSTE ABLEITUNG Null (f'(x)=0)

Eklärung: alle drei Punkttypen  besitzen eine waagrechte Tangente (die erste Ableitung entspricht der Tangentensteigung). Mache dir das an einer Skizze klar.

Unterscheidung: Hoch- und Tiefpunkte haben eine zweite Ableitung die NICHT Null ist; der Sattelpunkt ist ein Wendepunkt und muss daher eine zweite Ableitung haben, die Null ist (zusätzlich darf dann die dritte Ableitung nicht Null sein)

Zum ersten ein sattelpunkt ist auch ein wendepunkt und sie hat eine Steigung von 0
Abgesehen vom linken Seite ist streng monoton steigend und die rechte Seite ist auch streng monoton steigend oder umgekehrt.

Wenn die zweite Ableitung gleich Null ist dann ist das eine wendepunkt oder sattelpunkt

Wenn die zweite Ableitung *genau* null entspricht, kann es sich weder um einen Hoch- noch einen Tiefpunkt handeln.

Die erste Ableitung gibt die Steigung an.
* Ist der Wert an der Stelle x positiv: Positive Steigung, die Kurve steigt in positive y-Achsenrichtung
* Ist der Wert an der Stelle x negativ: Negative Steigung, die Kurve fällt in negative y-Achsenrichtung
* Ist der Wert an der Stelle x null: Keine Steigung, die Kurve behält konstant ihren y-Wert

Die zweite Ableitung gibt die Krümmung an.
* Ist der Wert an der Stelle x positiv: Positiv gekrümmt (nach oben geöffnet) => Tiefpunkt
* Ist der Wert an der Stelle x negativ: Negativ gekrümmt (nach unten geöffnet) => Hochpunkt
* Ist der Wert an der Stelle x null: Keine Krümmung, gerade Linie => Wendepunkt (Krümmungsverhalten wechselt)

Wenn man einen Wendepunkt vorliegen hat, kann die erste Ableitung (Steigung) entscheiden, ob es sich um einen Sattelpunkt handelt.
Ein Sattelpunkt hat die Steigung 0, ist also gerade - wie ein Sattel.

Sattelpunkt bei (0|0): x^3
Wendepunkt bei (0|0): x^3 + x