Nennt sich Extremwertaufgabe und ich nehme an, dass ihr das Prinzip davon bereits behandelt habt.
Zeichne ein beliebiges Beispieldreieck ein und gib seinen Flächeninhalt (in Abhängigkeit von u) an. Das nennt sich Zielfunktion und von ihr wird der Hochpunkt berechnet. Sein x-wert ist dann eine Kathete und sein y-Wert der gesuchte Flächeninhalt (ggf noch Randwertuntersuchung anschließen,  lehrerabhängig)

Nun ja, intuitiv gesehen liegt der korrekte Wert von \(u\) ja irgendwo in der Nähe von \(0.9\), denn etwa dort liegt ein Extremwert von \(f\). Das so entstehende Dreieck sieht etwa so aus:


Wie berechnen wir nun den genauen Wert von \(u\)? Fangen wir erstmal damit an, dass wir die Ableitung \(f'\) berechnen. Es ergibt sich: \(f'(x) = -\frac 4 5 x^3 + \frac 2 3 x\). (Zum Thema Ableitungen hat Daniel Jung natürlich auch ein Video, ich habe die Ableitung hier einfach mit GeoGebra berechnet.)

Geplottet sieht das ganze so aus:


Die Extremwerte sind nun die Nullpunkte von \(f'\). Da \(f'\) aufgrund der zwei Brüche ein bisschen schwer zu handhaben ist, definiere ich mal \(f_{15}'(x) = 15 \cdot f'(x) = -12 x^3 + 10x\) und suche davon die Nullstellen (diese ändern sich ja nicht, wenn man das Polynom mit einer Zahl \(\ne 0\) multipliziert). Da es sich um ein Polynom dritten Grades handelt, können wir hier leider die Mitternachtsformel nicht anwenden, wir sehen jedoch auf den ersten Blick, dass \( f_{15}'(0) = 0 \), d.h. \(0\) ist eine Nullstelle von \(f_{15}'\). (Dies macht ja auch Sinn, denn \(0\) ist tatsächlich ein Extremwert von \(f\).)

Da wir bereits eine Nullstelle kennen, können wir die weiteren mithilfe einer Polynomdivision finden:
\(
\begin{aligned} &(-12 x^3 + 10x) : (x-0) = -12x^2 + 10 \\ -&\underline{(-12x^3)} \\ &\qquad (0 + 10x) \\ &\ \ \ -\underline{\quad \ \ \ (10x)} \\ &\qquad \qquad \quad \ 0 \end{aligned}
\)

Nun haben wir ein Polynom zweiten Grades, auf das man die Mitternachtsformel anwenden kann:
\(
\begin{aligned} x_{1,2} &= \frac{0 \pm \sqrt{0 - 4 \cdot (-12) \cdot 10}}{2 \cdot (-12)} = \frac{\pm \sqrt{480}}{-24} = -\sqrt{\frac 5 6} \text{ oder } \sqrt{\frac 5 6} \end{aligned}
\)

Wir haben nun also 3 Extrempunkte gefunden. Der erste Extrempunkt \(-\sqrt{\frac 5 6}\) liegt außerhalb des gegebenen Bereiches, denn es muss ja \(0 \le u \le 1.2\) gelten. \(0\) ist offensichtlich ja auch nicht der Extrempunkt den wir suchen. Es bleibt \(u = \sqrt{\frac 5 6} \approx 0.91287093\). Wie wir sehen, liegt dieser Wert tatsächlich sehr nahe der ursprünglichen Schätzung von \(0.9\), es scheint also der richtige Wert zu sein. Damit wäre diese Aufgabe dann gelöst.

Grüße, ThePC007.